Distância percorrida

A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x = ct² - bt³, onde "x" está em metros e "t" em segundos. Suponha os valores numéricos de c e b sejam 3,0 e 2,0, respectivamente. Pergunta-se:

Qual a distância percorrida pela partícula?

No gabarito diz que que a resposta é 82m e eu encontrei -80m.

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Pela equação, então:
x = 3t²-2t³
x = t²(3-2t)
Ou seja, as raizes da função, a posição do x equivale a zero quando:
t=0, t=0, t=3/2

Se t=0 --> x=0
Se t=0.5 --> x=0.5
Se t=1 --> x=1
Se t=1.5 --> x=0
Se t=2 --> x=-4
Se t=2.5 --> x=-12.5
Se t=3 --> x=-27
Se t=4 --> x=-80

Assim, quando t=4, então está na posição x=-80
Mas o móvel chega ao ponto x=1, e volta. Ou seja, até chegar ao ponto 1, então percorreu 1. Até voltar à origem, então x=0.
Portanto, quando ele sai, e volta, ele percorre 2 m.
E quando t=4, está na posição -80, então além dos 2 m, então ele percorre mais 80. Portanto, 82 metros percorridos.

Podemos saber que o ponto máximo é 1 pois se fizer a derivada, obteremos que o valor da derivada descreve a velocidade. Como até o ponto máximo ele possuia velocidade positiva, então no ponto máximo sua velocidade equivale a zero.

f(t) = 3t² - 2t²
f'(t) = 6t - 6t²
0 = 6t(1-t)
Ou seja, t=0, ou t=1, sua velocidade será zero. Assim, como t=1, x=1. Ou seja, sua posição máxima é 1 até inverter o sentido.