(ITA) - Função Trigonométrica

Considere a função f(x) = 2sen(2x) - cos(2x), determine a paridade, período e conjunto imagem.

Paridade:
Função par : f(x)=f(-x)
Função ímpar: f(-x)=-f(x)
A função do exercício:
f(-x)=-2sen(2x)-cos(2x) e f(x)=2sen(2x)-cos(2x) >Usando os fatos : sen(-x)=-sen(x) e cos(-x)=cos(x)

Período: o período da função sen(kx) é 2*pi/k,no caso,como temos 2x em ambos seno e cosseno,a repetição ocorre "igualmente" para as duas funções,logo,o período é 2*pi/2=pi

Imagem:
Só consegui resolver usando um pouco de cálculo,vamos lá:
Seja y=f(x)=2sen(2x)-cos(2x) e 2x=u
y=2sen(u)-cos(u)
du/dx=2
dy/du=2cos(u)+sen(u)
Multiplicando:
du/dx*dy/du=dy/dx=2*[2cos(u)+sen(u)]=4cos(u)+2sen(u)
Pense no gráfico,a imagem é "onde existe gráfico no eixo y",ou seja, do ponto mínimo até o ponto máximo(do mais baixo até o mais alto). Os pontos de mínimo e máximo ocorrem onde a inclinação da reta tangente é zero,ou seja,
y'=dy/dx=0**
Agora precisamos encontrar uma resposta para o sistema de duas variáveis 4cos(u)+2sen(u)=0 <=> cos(u)=-sen(u)/2
A outra equação é a relação fundamental cos^2(u)+sen^2(u)=1
Substituindo cos(u)=-sen(u)/2 na segunda equação obtemos as soluções
sen(u)=2√5/5 e cos(u)=-√5/5-->Substituindo : f(x)=4√5/5+√5/5=√5*
ou
sen(u)=-2√5/5 e cos(u)=√5/5-->Substituindo : f(x)=-√5*
Substitui os valores de sen(u) e cos(u) na equação y=2sen(u)-cos(u)
Logo,o mínimo da nossa função é -√5 e o seu máximo é √5,como a função existe para todo x(e u por consequência),a imagem será I : -√5<=I<=√5

** Uma das definições de derivada é a inclinação da reta tangente a um ponto. Nos pontos extremos,sua inclinação é zero(A reta será paralela ao eixo x)

Olá, Gianluigi.

f(x) = 2sen(2x) - cos(2x) .:.

Vamos utilizar um truque agora.

Imagine um triângulo retângulo de catetos 1 e 2. A hipotenusa vale √5. Sendo a o ângulo oposto ao cateto de medida 1, temos:

sen a = 1/√5 .:. 1 = sen a * √5
cos a = 2/√5 .:. 2 = cos a * √5

Substituindo em f(x):

f(x) = cos a *√5 * sen(2x) - sen a * √5 * cos(2x) .:.
f(x) = √5 * (cos a * sen(2x) - sen a * cos (2x))

Note ali entre parênteses a fórmula sen(2x-a). Então, f(x) = √5 * sen(2x-a)

Agora ficou fácil.

Paridade da função:

f(-x) = √5*sen(-2x-a) .:. f(-x) = √5 * sen[-(2x+a)] .:. f(-x) = -√5*sen(2x+a)

A função não é par nem ímpar.

Quanto ao período: P = (2pi)/2 = pi

A imagem:

Valor máximo ocorre para sen (2x-a) = 1 --> f(x) = √5
Valor mínimo ocorre para sen (2x-a) = -1 --> f(x) = -√5

Espero ter ajudado.

Abraços,
Pedro