Limite de uma função de duas variáveis

por Nath Neves Qui 09 Out 2014, 16:36

Calcule os seguintes limites:
lim┬((x,y)→(0,0))〖(√(x^2+1)-√xy)〗

por MCarsten Qui 09 Out 2014, 17:51

Para resolver esta questão, parametrize as funções em t, obtendo o limite em diversos pontos ao longo de diferentes direções.

$\lim_{(x,y) \to (0, 0)} = \sqrt{x^2+1} - \sqrt{xy}$

Testando ao longo do eixo x:
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{t^2+1} - \sqrt{t.0}$
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{t^2+1} = 1$

Testando ao longo do eixo y:
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{0+1} - \sqrt{0.t}$
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{1} = 1$

Testando ao longo de x = y:
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{t^2+1} - \sqrt{t.t}$
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{t^2+1} - \sqrt{t^2} = 1$

Testando ao longo y = x/5:
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{\frac{t}{5}^2+1} - \sqrt{\frac{t}{5}.t}$
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{\frac{t}{5}^2+1} - \sqrt{\frac{t^2}{5}} = 1$

A tendência observada é que o limite sempre seja 1. Portanto o limite existe e é 1.

por Man Utd Qui 09 Out 2014, 20:57

MCarsten escreveu:Para resolver esta questão, parametrize as funções em t, obtendo o limite em diversos pontos ao longo de diferentes direções.

$\lim_{(x,y) \to (0, 0)} = \sqrt{x^2+1} - \sqrt{xy}$

Testando ao longo do eixo x:
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{t^2+1} - \sqrt{t.0}$
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{t^2+1} = 1$

Testando ao longo do eixo y:
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{0+1} - \sqrt{0.t}$
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{1} = 1$

Testando ao longo de x = y:
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{t^2+1} - \sqrt{t.t}$
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{t^2+1} - \sqrt{t^2} = 1$

Testando ao longo y = x/5:
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{\frac{t}{5}^2+1} - \sqrt{\frac{t}{5}.t}$
$\lim_{t \to (0, 0)} = \sqrt{\frac{t}{5}^2+1} - \sqrt{\frac{t^2}{5}} = 1$

A tendência observada é que o limite sempre seja 1. Portanto o limite existe e é 1.

Olá

A resposta é realmente 1, mas a resolução não está certa( a solução correta bastaria substituir os valores de "x" e "y"), pois a regra dos caminhos servem somente para mostrar a INExistência de limites, já que vc poderia testar um milhão de caminhos todos com msm valor , mas ainda sim não pode afirmar que existe.

Veja esse exemplo Exemplo , os limites desse exemplo tendem a zero por uma infinidade de curvas, mas o limite sequer existe.

por MCarsten Qui 09 Out 2014, 21:12

Man Utd escreveu:
Olá

A resposta é realmente 1, mas a resolução não está certa( a solução correta bastaria substituir os valores de "x" e "y"), pois a regra dos caminhos servem somente para mostrar a INExistência de limites, já que vc poderia testar um milhão de caminhos todos com msm valor , mas ainda sim não pode afirmar que existe.

Veja esse exemplo Exemplo , os limites desse exemplo tendem a zero por uma infinidade de curvas, mas o limite sequer existe.

Olá ManUtd,

agradeço pela correção. O teste de existência de limites para funções de várias variáveis foi um assunto que me foi passado brevemente, e que portanto não dei tanto enfoque. Gostei do seu exemplo, ficou mais claro agora o sentido de usar o método.

Abraços.

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