Limite de uma função de duas variáveis

por Adriana Luz Lima Dom 12 Out 2014, 15:46

Mostre que o limite lim┬((x,y)→(0,0))〖2x/√(x²+y²)〗 não existe.

por Man Utd Dom 12 Out 2014, 18:02

Olá

Usando a regra dos caminhos, use o caminho (0,y) :

$\lim_{y \to 0} \; \frac{2*0}{\sqrt{0^2+y^2}}=0$

agora por (x,0) :

$\\\\\\ \lim_{x \to 0} \; \frac{2x}{\sqrt{x^2+0^2}} \\\\\\ \lim_{x \to 0} \; \frac{2x}{|x|}$

Veja que $\lim_{x \to 0} \; \frac{2x}{|x|}$ não existe pois:

$\\\\\\ \lim_{x \to 0^{+}} \; \frac{2x}{x}=2 \\\\\\ \lim_{x \to 0^{-}} \; \frac{2x}{-x}=-2$

Então como obtivemos valores diferentes por curvas que passam por (0,0), então pela regra dos caminhos o limite $\\\\\\ \lim_{(x,y) \to(0,0)} \; \frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ não existe.

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