Trigonometria - Soma de cossecantes.

cosec²(π/14)+cosec²(3π/14)+cosec²(5π/14).
Agradeço desde já por ter olhado!
Mais uma coisa:Tentei fazer assim:
(1/sen²(π/14))+(1/sen²(3π/14))+1/sen²(5π/14))=   OBS:O que está dividindo deixei de lado para não ocupar muito espaço.
sen²(3π/14)sen²(5π/14)+sen²(π/14)sen²(5π/14)+sen²(π/14)sen²(3π/14)=
[sen(3π/14)sen(5π/14)]²+[sen(π/14)sen(5π/14)]²+[sen(π/14)sen(3π/14)]²=
[(-2sen(3π/14)sen(5π/14))/-2]²+[(-2sen(π/14)sen(5π/14))/-2]²+[(-2sen(π/14)sen(3π/14))/-2]²= OBS:Multipliquei por -2/-2 para dar a subtração  de cossenos.
.... ai ainda da 2 páginas de contas, mas na prova cheguei perto de terminar, problema é que fiz somente na prova e não sei se ia terminar mesmo ou errei algo já que fiz na pressa, pois estava acabando o tempo da prova.Se alguém conseguir fazer mais rápido ou conseguiu deste modo agradeço se poder dar uma dica ou mostrar um outro modo que nós possamos tentar(Já que estou livre no momento e não quero necessariamente a resposta, mas se conseguir dar a resposta ajuda também ).

Olá, Policarpo Quaresma.

Farei uso das seguintes identidades:

\\ \begin{cases} \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} \\\\ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos (2\alpha)}{2} \\\\ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho} \cdot \cis \left( \frac{\alpha + 2k\pi}{n} \right)  \end{cases}  


Temos:

\\ \csc^2 \frac{\pi}{14} + \csc^2 \frac{3\pi}{14} + \csc^2 \frac{5\pi}{14} \therefore  \frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{14}} + \frac{1}{\sin^2\frac{3\pi}{14}} + \frac{1}{\sin^2\frac{5\pi}{14}} \therefore \\\\ \frac{1}{\frac{1 - \cos \frac{2\pi}{14}}{2}} + \frac{1}{\frac{1-\cos \frac{6\pi}{14}}{2}} + \frac{1}{\frac{1-\cos\frac{10\pi}{14}}{2}} \therefore \frac{2}{1-\cos\frac{\pi}{7}} + \frac{2}{1-\cos\frac{3\pi}{7}} + \frac{2}{1-\cos \frac{5\pi}{7}} \therefore \\\\ \frac{2 \cdot \left[ \left(1 - \cos \frac{3\pi}{7} \right) \cdot \left(1 - \cos \frac{5\pi}{7} \right ) + \left(1 - \cos \frac{\pi}{7} ) \cdot \left( 1 - \cos\frac{5\pi}{7} \right ) + \left(1 - \cos \frac{\pi}{7} \right) \cdot \left(1 - \cos \frac{3\pi}{7}  \right )  \right ]}{\left( 1- \cos \frac{\pi}{7}  \right ) \cdot \left( 1 - \cos \frac{3\pi}{7} \right) \cdot \left(1 - \cos \frac{5\pi}{7} \right )} \\\\

No denominador:

\\  \left( 1- \cos \frac{\pi}{7}  \right ) \cdot \left( 1 - \cos \frac{3\pi}{7} \right) \cdot \left(1 - \cos \frac{5\pi}{7} \right ) \therefore \\\\ \left( 1 - \cos \frac{3\pi}{7} - \cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{3\pi}{7} \right) \cdot \left( 1- \cos \frac{5\pi}{7} \right ) \therefore \\\\ \left(  1 - \cos \frac{5\pi}{7} - \cos \frac{3\pi}{7} +  \cos \frac{3\pi}{7} \cdot  \cos \frac{5\pi}{7} - \cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{3\pi}{7} - \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{3\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} \right) \therefore \left( 1 - \left( \cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} \right ) + \left( \cos \frac{3\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{3\pi}{7} \right) - \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{3\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7}  \right )

Considere a equação - no campo dos complexos - \\z^7 + 1 = 0 \therefore z^7 = -1 \therefore z^7 = cis \,\, \pi

Suas raízes são da forma \\ cis \,\, \left( \frac{\pi \cdot (2k+1)}{7} \right), k = 0,1,2,3 \dots 6 . Assim, são elas:

\\ \frac{\pi}{7}, \frac{3\pi}{7}, \frac{5\pi}{7}, \frac{7\pi}{7}, \frac{9\pi}{7}, \frac{11\pi}{7}, \frac{13\pi}{7}

Note que temos pares de raízes conjugadas (exceto pela raiz \\ z = -1 ). 

Das relações de Girard:

Soma das raízes:

\\ cis \left( \frac{\pi}{7} \right) + cis \left( \frac{3\pi}{7} \right) + cis \left( \frac{5\pi}{7} \right) + cis \left( \frac{7\pi}{7} \right) + cis \left( \frac{9\pi}{7} \right)  + cis \left( \frac{11\pi}{7} \right) + cis \left( \frac{13\pi}{7} \right) = 0 \therefore \\\\ 2 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} \right) - 1 = 0 \therefore \cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} = \frac{1}{2}

Soma das raízes duas a duas:

Uma ideia para facilitar:

\\ \cos \frac{\pi}{7} = a, \cos \frac{3\pi}{7} = b, \cos \frac{5\pi}{7} = c . Assim, 
\\ \cos \frac{3\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{3\pi}{7} = ab+bc+ac . Fatorando esta expressão:

\\ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2 \cdot (ab+bc+ac) \therefore \\\\ \frac{(a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2)}{2} = ab+ac+bc

Logo, \\ \cos \frac{3\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} + \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{3\pi}{7} é a mesma coisa que   \\ \frac{\left(\cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} \right)^2 - \left( \cos^2 \frac{\pi}{7} + \cos^2 \frac{3\pi}{7} + \cos^2 \frac{5\pi}{7} \right)}{2}

Manipulando mais um pouco:

\\ \cos^2 \frac{\pi}{7} = \sin^2 \frac{5\pi}{14} = \frac{1 - \cos \frac{5\pi}{7}}{2} \\\\ \cos^2 \frac{3\pi}{7} = \sin^2 \frac{\pi}{14} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{7}}{2} \\\\ \cos^2 \frac{5\pi}{7} = \sin^2 \frac{3\pi}{14} = \frac{1 - \cos \frac{3\pi}{7}}{2}

Assim, a expressão vale:

\\ \frac{\left(\frac{1}{2} \right)^2 - \left(\frac{3 - \left( \cos \frac{\pi}{7} + \cos \frac{3\pi}{7} + \cos \frac{5\pi}{7} }{2} \right)}{2} \therefore \frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{4}}{2} = -\frac{1}{2}

Para terminar:

\\  \cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{3\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} = \frac{(2\sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7}) (2\sin \frac{3\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}) (2 \sin \frac{5\pi}{7} \cos \frac{5\pi}{7} )}{8 \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{3\pi}{7} \sin \frac{5\pi}{7}} = \\\\ \frac{\sin \frac{2\pi}{7} \sin \frac{6\pi}{7} \sin \frac{10\pi}{7}}{8\sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{3\pi}{7} \sin \frac{5\pi}{7}} = \frac{(-\sin \frac{5\pi}{7}) (-\sin \frac{\pi}{7})(-\sin \frac{3\pi}{7})}{8 \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{3\pi}{7} \sin \frac{5\pi}{7}} = -\frac{1}{8}

Logo, o denominador vale:

1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{1}{8}

Agora, no numerador, fazendo a mesma substituição de antes, para agilizar as contas:

\\ 2 \cdot [ (1-b)  \cdot  (1-c) + (1-a) \cdot (1-c) + (1-a) \cdot (1-b)] \therefore \\\\ 2 \cdot [3+ (ab+ac+bc) - 2(a+b+c)]

Desfazendo a troca e lembrando que já sabemos aqueles valores entre parênteses, descobrimos que o valor do numerador é:

\\  2 \cdot \left( 3 - \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2}  \right) = 3

Finalmente, o valor da expressão é \\ \frac{3}{\frac{1}{8}} = 24.

Exercício muito interessante, meu amigo.

Prova de onde caiu ele?

Abraços,
Pedro

Caiu na prova da escola daqui ....
Obrigado cara S2.
Mas um problema, eu não sei complexos ainda, então não entendi uma parte lá encima.
Sei Girard então aquela parte tranquilo.
Poderia me ajudar na parte ali dos complexos?(Sei que posso fazer outro tópico mas quero deixar por aqui mesmo ou poderia recomendar um livro para eu ler e fazer algumas questões).
OBS:Tem uma parte antes dos complexos que seria cos5pi/7, caso queira colocar lá, estou anotando sua resposta então por isso estou colocando detalhes).

Eu sei. É que não coube, :S . Mas dá para entender.

Qual parte você não entendeu?

Caramba..caiu isso na prova da sua escola? Que isso, :O

Tipo as partes do complexos em que você usou uma propriedade:
Considere a equação - no campo dos complexos -
Então se puder citar um pdf ou livro ou mesmo explicar ajudaria.
E também tem isso aqui:
Farei uso das seguintes identidades:

(As primeiras propriedades e aparentemente não dá  para eu colocar a imagem.)

A 3ª propriedade, onde posso ver?(Acho que as duas duvidas estão ligadas).
Resumindo, a questão tem um modo de fazer sem usar essa propriedade, já que o professor não deu essa parte ainda.
(Ainda estou tentando fazer de outro modo).
OBS:Tenho costume de ficar editando de tempos em tempos, pois sempre me esqueço de algo, então dê uma olhada quando conseguir:roll:.Estou dando uma olhada nos tópicos de calculo então talvez demore um pouco para responder.

Olha, cara, não consigo ver uma saída sem complexos não.

Pode ser que exista alguma manipulação daqueles arcos, mas não consigo enxergá-la não.

Um bom livro para você aprender sobre complexos é o Iezzi. Você consegue achar ele na Internet (não posso postar o link aqui). Eu poderia te explicar o que significa z^7 = cis \,\, \pi , mas isso só geraria mais duvidas.

Abraços,
Pedro