|Trigonometria| - Calcule a soma

Calcule o valor da soma:

Gabarito:

Fui fazendo transformações trigonométricas e cheguei a:



Alguém sabe como continuar?

Obs. Vi uma resolução que usava complexos, mas queria saber se não dava usando apenas Trigonometria.

Encontrei uma resolução apenas usando trigonometria que segue um raciocínio diferente do meu. Vou deixá-la abaixo, mas, quem souber terminar as minhas contas iniciais, por favor, compartilhe!

Vamos lá

[latex]S=cos\left ( \frac{\pi }{7} \right )+cos\left ( \frac{3\pi }{7} \right )+cos\left ( \frac{5\pi }{7} \right )[/latex]


[latex]multiplicando\; \; S\; \; por\; {\color{Red} \frac{2sen\left ( \frac{\pi }{7} \right ) }{2sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )}} :[/latex]



[latex]S=\frac{{\color{Red} 2sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )}cos\left ( \frac{\pi }{7} \right )+{\color{Red} 2sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )}cos\left ( \frac{3\pi }{7} \right )+{\color{Red} 2sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )}cos\left ( \frac{5\pi }{7} \right )}{{\color{Red} 2sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )}}[/latex]



[latex]S=\frac{sen\left ( \frac{2\pi }{7} \right )+{\color{Red} 2sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )}cos\left ( \frac{3\pi }{7} \right )+{\color{Red} 2sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )}cos\left ( \frac{5\pi }{7} \right )}{{\color{Red} 2sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )}}[/latex]



[latex]Usando\; \; {\color{Blue} sen(A)cos(B)=\frac{1}{2}(sen(A+B)+sen(A-B))},\; encontramos:[/latex]



[latex]S=\frac{sen\left ( \frac{2\pi }{7} \right )+{\color{Red} 2}.{\color{Blue} \frac{1}{2} \left ( sen\left ( \frac{4\pi }{7} \right ) +sen\left (\frac{-2\pi }{7} \right )\right )}+ {\color{Red} 2}{\color{Blue} \frac{1}{2} \left ( sen\left ( \frac{6\pi }{7} \right ) +sen\left (\frac{-4\pi }{7} \right )\right )}}{ 2sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )}[/latex]

[latex]S=\frac{sen\left ( \frac{2\pi }{7} \right )+sen\left ( \frac{4\pi }{7} \right )-sen\left (\frac{2\pi }{7} \right )+sen\left ( \frac{6\pi }{7} \right )-sen\left (\frac{4\pi }{7} \right )}{ 2sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )}[/latex]



[latex]S=\frac{sen\left ( \frac{6\pi }{7} \right )}{ 2sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )}[/latex]



[latex]sen\left ( \frac{6\pi }{7} \right )=sen\left ( \pi -\frac{\pi }{7} \right )\Rightarrow sen\left ( \frac{6\pi }{7} \right )=sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )[/latex]



[latex]\therefore \boxed{ \boxed{S=\frac{1}{2}}}[/latex]

Um possível caminho é usar prostaférese

cosp + cosq = 2.cos[(p + q)/2].cos[p - q)/2]

Fazendo p = 5.pi/7 e q = pi/7 :

cos(5.pi/7) + cos(3.pi/7) = 2.cos[(5.pi/7 + pi/7)/2].cos[(5.pi/7 - pi/7)/2]

cos(5.pi/7) + cos(3.pi/7) = 2.cos(3.pi/7).cos(2.pi/7)

No final --> 2.cos(3.pi/7).cos(2.pi/7) + cos(3.pi/7) = cos(3.pi/7).[2.cos(2.pi/7) + 1]

Lembre-se que:

cos(2.a) = 2.cos²a - 1
cos(3.a) = 4.cos³a - 3.cosa

Elcioschin escreveu:Um possível caminho é usar prostaférese

cosp + cosq = 2.cos[(p + q)/2].cos[p - q)/2]

Fazendo p = 5.pi/7 e q = pi/7 :

cos(5.pi/7) + cos(3.pi/7) = 2.cos[(5.pi/7 + pi/7)/2].cos[(5.pi/7 - pi/7)/2]

cos(5.pi/7) + cos(3.pi/7) = 2.cos(3.pi/7).cos(2.pi/7)

No final --> 2.cos(3.pi/7).cos(2.pi/7) + cos(3.pi/7) = cos(3.pi/7).[2.cos(2.pi/7) + 1]

Lembre-se que:

cos(2.a) = 2.cos²a - 1
cos(3.a) = 4.cos³a - 3.cosa

Obrigado pela orientação, mestre Elcio!

\[
\begin{align*}
{\color{red}{\cos \left( \frac{\pi}{7} \right)} }+ {\color{red}{\cos \left( \frac{3\pi}{7} \right)}} + \cos \left(  \frac{5\pi}{7} \right) & = {\color{red}{2\cos \left( \frac{2\pi}{7} \right)\cos\left( \frac{\pi}{7} \right)}} + \cos\left( \frac{5\pi}{7}  \right) \\
& = {\color{green}{2}} \cdot \frac{{\color{green}{\sin \left( \frac{\pi}{7} \right)}}}{\sin\left( \frac{\pi}{7} \right)} \cdot {\color{green}{\cos\left( \frac{\pi}{7} \right)}} \cos\left( \frac{2\pi}{7} \right) + \cos\left(  \frac{5\pi}{7} \right)\\
& = \frac{{\color{green}{\sin\left( \frac{2\pi}{7} \right)}} \cos\left( \frac{2\pi}{7} \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{7} \right)} + \cos \left( \frac{5\pi}{7} \right) \\
& = \frac{\sin\left( \frac{4\pi}{7} \right)}{2\sin\left( \frac{\pi}{7} \right) } + \cos \left( \frac{5\pi}{7} \right) \\
& = \frac{ \sin \left( \frac{4\pi}{7}\right) + 2\sin\left( \frac{\pi}{7}\right)\cos\left( \frac{5\pi}{7} \right)}{2\sin\left( \frac{\pi}{7} \right)} \\
& = \frac{\sin\left( \frac{4\pi}{7} \right) + \sin\left( \frac{6\pi}{7} \right)  - \sin\left( \frac{4\pi}{7} \right)}{2\sin\left( \frac{\pi}{7} \right) } \\
& = \frac{\sin\left( \frac{6\pi}{7} \right) }{2\sin \left( \frac{\pi}{7} \right) } \\
& = \frac{ \sin \left( \frac{\pi}{7} \right) }{ 2 \sin \left( \frac{\pi}{7} \right)} \\
& = \frac{1}{2}
\end{align*}
\]