Determine o vetor posição.

por Jorge ss Qui 07 Ago 2014, 11:04

Determine o vetor posição r=r(t) de uma partícula no espaço, sendo sua aceleração, a sua velocidade inicial e sua posição inicial dados por: a(t)=(t,e^t, e^-t), v(o)=(0,0,1) e r(0)= (0,1,1)

por Man Utd Qui 07 Ago 2014, 14:09

Olá

É só integrar duas vezes sempre determinando a constante :

$v(t)=\int \; a(t) \; dt=\left( \frac{t^2}{2},e^{t},-e^{-t} \right )+C_{1}$

determine o valor da constante :

$\\\\\\ v(t)=\left( \frac{t^2}{2},e^{t},-e^{-t} \right )+C_{1} \\\\\\ v(0)=\left( \frac{0^2}{2},e^{0},-e^{0} \right )+C_{1} \\\\\\ (0,0,1)=\left( 0,1,-1 \right )+C_{1} \\\\\\ C_{1}=(0,0,1)-(0,1,-1)=(0,-1,2)$

logo : $\\\\\\ v(t)=\left( \frac{t^2}{2},e^{t},-e^{-t} \right )+(0,-1,2)$ integre novamente e depois ache o valor da constante :

$\\\\\\ r(t)=\int \;v(t) \; dt=\left( \frac{t^3}{6},e^{t},e^{-t} \right )+(0,-t,2t)+C_{2} \\\\\\ r(0)=\left( \frac{0^3}{6},e^0,e^{0} \right )+(0,0,2*0)+C_{2} \\\\\\ (0,1,1)=\left( 0,1,1\right )+(0,0,0)+C_{2} \\\\\\ C_{2}=(0,0,0)$

logo :

$\\\\\\ r(t)=\left( \frac{t^3}{6},e^{t},e^{-t} \right )+(0,-t,2t) \\\\\\ \boxed{ \boxed{ \boxed{r(t)=\left( \frac{t^3}{6},e^{t}-t,e^{-t}+2t \right ) }}}$

por CASSIANE Seg 11 Ago 2014, 13:02

Mas $Determine o vetor posição. Gif$ .
Logo, o resultado muda no final, não é?

por CASSIANE Seg 11 Ago 2014, 19:06

O meu deu $Determine o vetor posição. Gif$

por Man Utd Seg 11 Ago 2014, 19:39

CASSIANE escreveu:O meu deu $Determine o vetor posição. Gif$

Poderia postar o seu desenvolvimento? pois de onde surgiu o $\\\\\\ -e^{t}$ na terceira coordenada da função vetorial r(t) ?

por CASSIANE Seg 11 Ago 2014, 19:47

Quando fiz a integral de v(t) da terceira coordenada $Determine o vetor posição. Gif$
Eu não sei se o meu está certo, só que fiquei na dúvida e resolvi postar.

por Man Utd Seg 11 Ago 2014, 20:18

CASSIANE escreveu:Quando fiz a integral de v(t) da terceira coordenada $Determine o vetor posição. Gif$
Eu não sei se o meu está certo, só que fiquei na dúvida e resolvi postar.

A terceira coordenada de v(t) é $\\\\\\ e^{-t}$ e não $\\\\\\ -e^{t}$ .