PA de razão máxima

Sejam 28,262 e 1354 termos de uma PA de razão máxima. Determine:
a)o valor da razão
b)a soma de todos os termos dessa PA que estão compreendidos entre 1500 e 7500

jango feet escreveu:Sejam 28,262 e 1354 termos de uma PA de razão máxima. Determine:
a)o valor da razão
b)a soma de todos os termos dessa PA que estão compreendidos entre 1500 e 7500

Boa tarde,

a)o valor da razão:

Para que se tenha razão máxima, necessário se torna que a1 tenha valor mínimo.
Esse valor mínimo de a1 poderá ser: 0, 1, 2, ...

Testando para a1=0:
an = a1 + (n-1)*r
28 = 0 + (n-1)*r
(n-1)*r = 28

Para que se tenha r máxima, considerando os divisores possíveis de 28, vem:
n-1=1 → n=2
r=28

262 = 0 + (n-1)*28
n-1 = 262/28 = 9,35... (Inadequado, pois deve-se ter "n" inteiro!)

Testando para a1=1:
28 = 1 + (n-1)*r
(n-1)*r = 28-1
(n-1)*r = 27
n-1=1 → n=2
r=27

262 = 1 + (n-1)*27
n-1 = (262-1)/27 = 261/27 = 9,66... (Idem!)

Testando para a1=2:
28 = 2 + (n-1)*r
(n-1)*r = 28-2
(n-1)*r = 26
n-1=1→n=2
r=26

262 = 2 + (n-1)*26
n-1 = (262-2)/26 = 260/26 = 10 (Até aqui, ok.)

1354 = 2 + (n-1)*26
n-1 = (1354-2)/26 = 1352/26 = 52 (Ok, confirmado!)

Logo,
r=26

b)a soma de todos os termos dessa PA que estão compreendidos entre 1500 e 7500:

a1 + (n-1)*r > an
2 + (n-1)*26 > 1500
(n-1)*26 > 1500-2
n-1 > 1498/26
n-1 > 57,6...
n-1 ≥ 58
n ≥ 58+1
n ≥ 59

a1 + (n-1)*r < an
2 + (n-1)*26 < 7500
(n-1)*26 < 7500-2
n-1 < 7498/26
n-1 < 288,3...
n-1 ≤ 288
n ≤ 288+1
n ≤ 289

Assim, pode-se ter para n, desde 59 até 289, num total de:
289-59+1 = 231 termos.

S = (a1+an)*n/2
S = (59+289)*231/2 = 348 * 231/2 = 348/2 * 231 = 174 * 231
S = 40194



Um abraço.

Caro colega, tenho uma dúvida, quando você calcula n leva-se em consideração que ele seja o mdc dos tres numeros (28,262,1354)?

Outra coisa, acha que  só é possível encontrar o primeiro termo testando valores?

jango feet escreveu:Caro colega, tenho uma dúvida, quando você calcula n leva-se em consideração que ele seja o mdc dos tres numeros (28,262,1354)?

Boa tarde, jango.

Não, mas sua pergunta me levou a um outro modo de resolução:
28 ..... 262 .............. 1354

Entre 28 e 262 deve caber "x" vezes a razão e entre 262 e 1354, "y" vezes a razão. Assim, a razão máxima deve ser igual ao m.d.c. entre as diferenças desses dois pares de termos:
262 - 28 = 234
1354 - 262 = 1092

Calculando o mdc entre essas duas diferenças, vem:
1092,234|2 — 1° divisor comum
_546,117|3 — 2° divisor comum
_182,_39|13 – 3° divisor comum
__14,__3 — não há mais divisor comum

mdc(234,1092) = 2*3*13 = 78

Nesse caso, a razão máxima seria igual a 78.

E a solução para o item b) passaria a ser:
a1=28
r=78
1500 < an < 7500

a1 + (n-1)*r > 1500
28 + (n-1)*78 > 1500
(n-1)*78 > 1500-28
n-1 > 1472/78
n-1 > 18,87
n-1 ≥ 19
n ≥ 19+1
n ≥ 20

a1 + (n-1)*r < 7500
28 + (n-1)*78 < 7500
(n-1)*78 < 7500-28
n-1 < 7472/78
n-1 < 95,79
n-1 ≤  95
n ≤ 95+1
n ≤ 96

"n" irá variar desde 20 até 96:

n=20
28 + (20-1)*78 = 1510

n=96
28 + (96-1)*78 = 7438

S = (a1+an)*n/2
S = (1510+7438)*78/2 = 8948*39
S = 348972

Creio que este modo seja o mais correto.



Um abraço.

jango feet escreveu:Outra coisa, acha que  só é possível encontrar o primeiro termo testando valores?

Olá, boa tarde...
Bem, quanto ao primeiro termo, observei que não teria como ser negativo, porque isso nos levaria a algum valor infinitamente negativo para a1, a fim de que a razão tiver valor máximo. Concorda?
Daí, deduzi que a1 deve ser nulo ou positivo, e ter o menor valor possível, a fim de que o valor da razão (r) seja máximo.
Foi por esse motivo que comecei testando 0, 1, 2,... para a1, até encontrar um valor que fornecesse um valor inteiro para a razão; donde então encontrei r=26 como valor compatível para os três termos dados (28, 262 e 1354).


Um abraço.

Desculpa a demora pela resposta ivomilton, mas quanto a pergunta que você fez, é que encontrei resoluções na internet de questões parecidas em que simplesmente se atribuía a razão máxima ao mdc dos termos, então eu pensei: poxa tão simples assim, será que assim se resolvem todas as questões do tipo? estou procurando o link destas agora mesmo...

um abraço.

Aqui: http://44414.activeboard.com/t6761331/pa/

Aqui(só a questão): http://www.rumoaoita.com/site/attachments/270_Lista%203%20-%20Matem%C3%A1tica%20e%20F%C3%ADsica%20-%20F%C3%A1bio%20Miranda.pdf

jango feet escreveu:Aqui: http://44414.activeboard.com/t6761331/pa/

Aqui(só a questão): http://www.rumoaoita.com/site/attachments/270_Lista%203%20-%20Matem%C3%A1tica%20e%20F%C3%ADsica%20-%20F%C3%A1bio%20Miranda.pdf

Boa noite,

O link de sua primeira linha mostra uma resolução igual à que fiz.
No link (só a questão), a questão 6 resolve-se da mesma maneira:
4, 139, 409.

139 - 4 = 135
409 - 139 = 270

mdc(135,270) = 135

Próximo termo após 409:
409 + 135 = 544

Tudo esclarecido, então.

Tenha uma semana abençoada pelo Senhor Jesus!