Integral Impropria Divergente

por killerkill Sex 11 Jul 2014, 14:19

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Pessoal, me deparei com a seguinte integral imprópria onde chego em uma expressão que me dá um logaritmo natural de um numero negativo(o que obviamente não existe). Segue meu desenvolvimento:

$\int_{0}^{3}\frac{dx}{x^{2}-6x+5}$

Integral impropria com descontinuidade infinita no integrando. Além disso fracionando para resolver a integral fico com:

$\lim_{a \to1^{-} }\int_{0}^{a}\left [ \frac{1}{4(x-5)}-\frac{1}{4(x-1)} \right ]dx+\lim_{b \to1^{+} }\int_{b}^{3}\left [ \frac{1}{4(x-5)}-\frac{1}{4(x-1)} \right ]dx$

Em seguida, encontro uma antiderivada, aplico a propriedade de logaritmo natural e fico com a seguinte expressão já aplicada nos extremos do intervalo de integração:

$\frac{1}{4}\left \{\lim_{a \to1^{-} } \left [ ln\frac{(a-5)}{(a-1)}-ln\frac{(0-5)}{(0-1)} \right ] +\lim_{b \to1^{+} } \left [ ln\frac{(3-5)}{(3-1)}-ln\frac{(b-5)}{(b-1)} \right ]\right \}$

O problema ocorre nessa parte da equação:

$ln\frac{(3-5)}{(3-1)}=ln(-1)$

O que devo fazer agora? Fiz outra questão em que surgiu algo parecido.

por Man Utd Sex 11 Jul 2014, 19:07

Olá

O problema é que vc está esquecendo o módulo.Veja que quando integramos uma expressão como essa:

$\int \; \frac{1}{x} \; dx=\ln |x|+C$

Existe um módulo justamente para evitar este tipo de problema.

por killerkill Sex 11 Jul 2014, 23:01

Cassamba! Verdade pura parceria.Mas veja bem, dando continuadade a conta, vejo por alto que vai ficar infinito(do primeiro limite) - infinito( ultimo limite). E aí? Plotei o grafico aqui e realmente me parece que nesse intervalo eu teria uma area infinita acima do eixo x e uma area infinita abaixo. Mas como afinal eu apresento tal resposta? Abraçs

por killerkill Sex 11 Jul 2014, 23:02

Ah, muito obrigado pelo alerta, tinha esquecido disso. Que mole que dei. Haha. Obrigado parceria

por Man Utd Sex 11 Jul 2014, 23:47

Olá

Vamos do começo.

$\\\\\\ \int_{0}^{3} \; \frac{1}{x^2-6x+5} \; dx=\lim_{ a \to 1^{-}} \; \int_{0}^{a} \; \frac{1}{x^2-6x+5} \; dx \; + \; \lim_{ b \to 1^{+}} \; \int_{b}^{3}\; \frac{1}{x^2-6x+5} \; dx \\\\\\ \int_{0}^{3} \; \frac{1}{x^2-6x+5} \; dx=\lim_{ a \to 1^{-}} \; \left[\frac{\ln |5-x|-\ln|1-x|}{4} \right ]_{0}^{a} + \; \lim_{ b \to 1^{+}} \;\left[\frac{\ln |5-x|-\ln|1-x|}{4} \right ]_{b}^{3} \\\\\\ \int_{0}^{3} \; \frac{1}{x^2-6x+5} \; dx=\lim_{ a \to 1^{-}} \; \frac{\ln|5-a|-\ln|1-a|-\ln|5|}{4} + \; \lim_{ b \to 1^{+}} \; \frac{ -\ln|5-b|+\ln|1-b|}{4}$

se aplicamos o limite do jeito que está realmente teremos um indeterminação do tipo $\\\\\\ +\infty-\infty$ .Para mostrar que é divergente temos que fazer o seguinte:

$\\\\\\ \int_{0}^{3} \; \frac{1}{x^2-6x+5} \; dx=\lim_{ a \to 1^{-}} \; \frac{\ln|5-a|-\ln|1-a|-\ln|5|}{4} + \; \lim_{ b \to 1^{+}} \; \frac{ -\ln|5-b|+\ln|1-b|}{4} \\\\\\ \int_{0}^{3} \; \frac{1}{x^2-6x+5} \; dx=\lim_{ (a,b) \to (1^{-},1^{+})} \; \frac{\ln|5-a|-\ln|1-a|-\ln|5|}{4} + \frac{ -\ln|5-b|+\ln|1-b|}{4} \\\\\\\ \int_{0}^{3} \; \frac{1}{x^2-6x+5} \; dx=\lim_{ (a,b) \to (1^{-},1^{+})} \; \frac{\ln|5-a|-\ln|1-a|-\ln|5|-\ln|5-b|+\ln|1-b|}{4}$

isto é um limite de uma função de duas variáveis, façamos uma subtituição para ajudar nos cálculos : $\\\\\\ u=1-a \;\;\; , \;\;\; v=1-b \;\;\;\;\;\; \left( (a,b) \to (1^{-},1^{+}) \right) \;\;\;\;\;\; , \;\;\;\; \left( (u,v) \; \to (0^{+},0^{-}) \right )$

$\\\\\\\ \int_{0}^{3} \; \frac{1}{x^2-6x+5} \; dx=\lim_{ (u,v) \; \to (0^{+},0^{-}) } \; \frac{\ln|u+4|-\ln|u|-\ln|5|-\ln|v+4|+\ln|v|}{4}$

Agora vamos utilizar a regra dos caminhos ( se já tiver estudado limite de função de várias variavéis entenderá este procedimento) para provar que este limite não existe.

Por (u,u) :

$\\\\\\\ \lim_{ u \; \to 0^{+} } \; \frac{\ln|u+4|-\ln|u|-\ln|5|-\ln|u+4|+\ln|u|}{4} =-\frac{\ln|5|}{4}$

Este resultado é conhecido como valor principal de cauchy.

Por (u,u²) :

$\\\\\\\ \lim_{ u \; \to 0^{+} } \; \frac{\ln|u+4|-\ln|u|-\ln|5|-\ln|u^2+4|+\ln|u^2|}{4} =-\infty$

Logo como conseguimos valores diferentes usando curvas diferentes então o limite não existe e consequentemente a integral diverge.

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