Integral Imprópria

por **Giiovanna** Seg 02 Set 2013, 09:49

Mostre que $Integral Imprópria Gif$ é divergente

por Man Utd Ter 03 Set 2013, 10:34

Olá

$\\\\\\ \int_{-1}^{2} \; \frac{1}{x} \; dx=\int_{-1}^{0} \; \frac{1}{x} \; dx+\int_{0}^{2} \; \frac{1}{x} \; dx \\\\\\\\ \int_{-1}^{2} \; \frac{1}{x} \; dx=\lim_{ a \to 0^{-}}\int_{-1}^{a} \; \frac{1}{x} \; dx+\lim_{ b \to 0^{+}} \; \int_{b}^{2} \; \frac{1}{x} \; dx \\\\\\\\ \int_{-1}^{2} \; \frac{1}{x} \; dx=\lim_{ a \to 0^{-}}\; \ln|a|+\lim_{ b \to 0^{+}} \; \ln|2|-\ln|b|$

Veja que aqui vamos cair em uma indeterminação, então :

$\\\\\\\\ \int_{-1}^{2} \; \frac{1}{x} \; dx=\lim_{ (a,b) \to (0^{-},0^{+})}\; \ln|a| -\ln|b|+\ln2$

Este é limite de uma função de duas variavéis para mostrar a não-existência vamos usar a regra dos caminhos :

para (b,b) :

$\\\\\\\\ \int_{-1}^{2} \; \frac{1}{x} \; dx=\lim_{ b\to 0^{+}}\; \ln|b| -\ln|b|+\ln2= \ln2$

para (b^2,b) :

$\\\\\\\\ \int_{-1}^{2} \; \frac{1}{x} \; dx=\lim_{ b\to 0^{+}}\; \ln|b^2| -\ln|b|+\ln2 \\\\\\\ \int_{-1}^{2} \; \frac{1}{x} =\lim_{ b\to 0^{+}}\; 2\ln|b| -\ln|b|+\ln2 =\ln|b|+\ln2=+\infty$

qunado a=b o a integral imprópria vale ln2 que é o chamado valor principal de Cauchy , e quando a=b^2 o limite é mais infinito ,o que carateriza que o limite diverge, então a integral imprópria tbm diverge.

Resposta Editada.

por **Giiovanna** Ter 03 Set 2013, 11:09

Oi,

De fato, eu fiz da mesma maneira que você, mas chegando na indeterminação parei ai. Bom, de qualquer forma, vou perguntar a um professor se é isso mesmo.

O problema é que ainda não estamos usando, oficialmente, integral indefinida, e eu não encontrei nenhum bom livro de teoria que desse algum exemplo parecido.

De qualquer forma, obrigada Smile

Vou dar uma olhara no tópico.

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