Integral Imprópria

por Maluco Beleza Seg 05 Nov 2012, 12:12

Seja a integral imprópria:

$\int_{-\infty }^{+\infty }x\left ( 1+x^2 \right )^-^2$

Demostrar se é convergente ou divergente.

Agradecido pela ajuda...

por **Adam Zunoeta** Ter 06 Nov 2012, 18:53

Link Externo:

http://s17.postimage.org/8k237joen/image.gif

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+x%2F%281%2Bx%C2%B2%29%C2%B2+dx%2C+x%3D-infinity..infinity

por Violeiro Ter 06 Nov 2012, 22:53

Olá MB e Adam

E nesse caso como ficaria isso?

$\int_{-\infty }^{+\infty }x\left ( 1+x^2 \right )^-^1$

Valeuuuu!!!!

por **Adam Zunoeta** Qua 07 Nov 2012, 07:59

Mesma ideia:

No lugar de u^(-2) ficaria u^(-1)

(1/2) ∫du/u= ln u = ln (1+x²)

Porém a integral não converge.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+x%2F%281%2Bx%C2%B2%29+dx%2C+x%3D-infinity..infinity

por Violeiro Qua 07 Nov 2012, 09:45

Olá...

Essa resolução que vc fez, por que não aparece no wolframalpha?

por **Adam Zunoeta** Qua 07 Nov 2012, 10:37

O Wolfram nesse caso forneceu apenas o resultado final.

por **Adam Zunoeta** Ter 13 Nov 2012, 13:58

Link Externo:

http://s9.postimage.org/5gjytfiof/image.gif

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+x%2F%281%2Bx%C2%B2%29+dx%2C+x%3D-infinity..infinity

ln1=0

por Man Utd Sáb 28 Jun 2014, 12:35

Olá

Apesar do resultado ser realmente divergente deveríamos provar de outra forma, veja porque:

$\\\\\\ \int_{-\infty}^{+\infty} \; \frac{x}{1+x^2} \;dx= \lim_{ a \to -\infty} -\frac{\ln|1+a^2|}{2}\; + \; \lim_{ b \to +\infty} \;\frac{\ln|1+b^2|}{2} \\\\\\ \int_{-\infty}^{+\infty} \; \frac{x}{1+x^2} \;dx= -\infty+\infty$

ora, sabemos que : $-\infty+\infty$ é uma indeterminação, então teremos que fazer o seguinte:

$\\\\\\ \int_{-\infty}^{+\infty} \; \frac{x}{1+x^2} \;dx= \lim_{ a \to -\infty}\; -\frac{\ln|1+a^2|}{2}\; + \; \lim_{ b \to +\infty} \;\frac{\ln|1+b^2|}{2} \\\\\\ \int_{-\infty}^{+\infty} \; \frac{x}{1+x^2} \;dx= \lim_{ (a,b) \to (-\infty,+\infty) }\; -\frac{\ln|1+a^2|}{2}\; + \; \;\frac{\ln|1+b^2|}{2}$

isto é um limite de função de duas variavéis, então vamos usar a regra do caminho para provar que esse limite não existe.

para (a,a) :

$\\\\ \lim_{ a\to -\infty }\; -\frac{\ln|1+a^2|}{2}\; + \; \;\frac{\ln|1+a^2|}{2} =0$

Este resultado é conhecido como Valor Principal de Cauchy.

Agora tentamos por : (a,√a) :

$\\\\ \lim_{ a \to -\infty }\; -\frac{\ln|1+a^2|}{2}\; + \; \;\frac{\ln|1+a|}{2}=+\infty$

Como o resultados são diferentes, então o limite não existe e consequentemente a integral diverge.