Integral Imprópria

por Wesley Macedo Dom 13 Dez 2015, 18:23

Determine:

$\int_{2}^{1}\frac{1}{x^2*(x-2)}dx$

Obrigado desde já! Se puderem colocar como foi feita ficaria mais agradecido.
Eu tentei resolver a questão achando uma integral indefinida para f(x) e calculando nos limites de integração e logo após tomando o limite quando a x se aproxima de 2 pelo lado esquerdo, porém não consegui chegar a algum valor para saber se a integral converge ou não.

por PedroCunha Dom 13 Dez 2015, 19:35

Olá, Wesley.

Vamos reescrever a integral, tomando cuidado com o ponto de descontinuidade:

\\ \int_{1}^2 \frac{1}{x^2 \cdot (x-2)} \,\, dx = \lim_{a \to 2^{-}} \int_1^a \frac{1}{x^2 \cdot (x-2)} \,\, dx \\\\ \circ \frac{1}{x^2 \cdot (x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x-2} \Leftrightarrow 1 = A \cdot x \cdot (x-2) + B \cdot (x-2) + C \cdot x^2 \\\\ \circ \text{ Para } x = 0: \\ 1 = -2B \Leftrightarrow B = -\frac{1}{2} \\\\ \circ \text{ Para } x = 2: \\ 1 = 4C \Leftrightarrow C = \frac{1}{4} \\\\ \circ \text{ Para } x = 1: 1 = -A + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \Leftrightarrow A = - \frac{1}{4} \\\\ \circ \text{ Logo, } \int \frac{1}{x^2 \cdot (x-2)} \,\, dx = -\frac{\ln|x|}{4} + \frac{1}{2x} + \frac{\ln|x-2|}{4} + C

Finalmente:

\\ \lim_{a \to 2^-} \int_1^a \frac{1}{x^2 \cdot (x-2)} \,\, dx = \lim_{a \to 2^-} \left[ -\frac{\ln|x|}{4} + \frac{1}{2x} + \frac{\ln|x-2|}{4} \right]_1^a \\\\ = \lim_{a \to 2^-} \left( -\frac{\ln|a|}{4} + \frac{1}{2a} + \frac{\ln|a-2|}{4} \right) - \left( - \frac{\ln 1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{\ln 1}{4} \right)

Como \\ \lim_{a \to 2^-} \frac{\ln|a-2|}{4} tende à menos infinito, a integral diverge.

Att.,
Pedro

por Wesley Macedo Dom 13 Dez 2015, 21:13

Muito obrigado Pedro!!
Eu tinha chegado ao mesmo lugar que você porém tinha "me perdido" na hora de calcular o limite.
Tenha uma ótima noite e obrigado \o