Area da regiao
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Area da regiao
por Lilian Cristina da Costa Qui 10 Jul 2014, 17:49
(MACK SP/2012) Considere a região do plano dada pelos pontos (x,y) tais que x²+y²<=2x e x²+y²<=2y. Fazendo pi=3, a área dessa região é:
a) 1 b)0,5 c) 2 d)1,5
a) 1 b)0,5 c) 2 d)1,5
Lilian Cristina da Costa- Jedi
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Re: Area da regiao
por Jose Carlos Qui 10 Jul 2014, 18:37
Temos:
x²+y²<=2x -> x² - 2x + y² <= 0 -> circunferência de centro C1( 1, 0 ) e raio R1 = 1
x²+y²<=2y -> x² + y² - 2y <= 0 -> circunferência de centro C2( 0, 1 ) e raio R2 = 1
- desenhe no plano coordenado as duas circunferências. e observe:
assim:
pi = 3
- área da circunferência C1 -> S1 = pi*R1² = 3
- marque os pontos A(1, 0 ), B( 0, 0 ) e C( 1, 1 )
- considere o setor circular BC2B -> área -> S1 = 3/4
- considere o triângulo ABC2 -> área -> S2 = 1/2
assim, a metade da área gerada pela interseção das circunferências será -> S2 = S1 - S2 = ( 3/4 ) - ( 1/2 ) =
= 1/4
então a área pedida será igual a 2*S2 = 2*(1/4) = 1/2 = 0,5.
x²+y²<=2x -> x² - 2x + y² <= 0 -> circunferência de centro C1( 1, 0 ) e raio R1 = 1
x²+y²<=2y -> x² + y² - 2y <= 0 -> circunferência de centro C2( 0, 1 ) e raio R2 = 1
- desenhe no plano coordenado as duas circunferências. e observe:
assim:
pi = 3
- área da circunferência C1 -> S1 = pi*R1² = 3
- marque os pontos A(1, 0 ), B( 0, 0 ) e C( 1, 1 )
- considere o setor circular BC2B -> área -> S1 = 3/4
- considere o triângulo ABC2 -> área -> S2 = 1/2
assim, a metade da área gerada pela interseção das circunferências será -> S2 = S1 - S2 = ( 3/4 ) - ( 1/2 ) =
= 1/4
então a área pedida será igual a 2*S2 = 2*(1/4) = 1/2 = 0,5.
____________________________________________
...se acupuntura adiantasse, porco-espinho viveria para sempre....
Jose Carlos- Grande Mestre
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Re: Area da regiao
por Man Utd Qua 16 Jul 2014, 21:55
por integrais simples , metódo descrito aqui.
A primeira circunferência tem equação em coordenadas polares :
e a segunda 
, logo :
=\frac{\pi-2}{2}=\frac{3-2}{2}=0.5 "\\\\ \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \; 4sen^{2} \theta \; d\theta+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \; 4cos^{2} \theta \; d\theta \right )=\frac{\pi-2}{2}=\frac{3-2}{2}=0.5")
A primeira circunferência tem equação em coordenadas polares :
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