Analise Combinatoria
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Analise Combinatoria
por L.Lawliet Ter 08 Jul 2014, 01:34
a) Qual a soma dos divisores inteiros e positivos de 720?
b)De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros e positivos?
b)De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de tres inteiros e positivos?
A resposta é: a) 2418 ; b)15; c)48; d)8
Acho que deve precisar, então: 720 = 2⁴.3².5
b)De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros e positivos?
b)De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de tres inteiros e positivos?
A resposta é: a) 2418 ; b)15; c)48; d)8
Acho que deve precisar, então: 720 = 2⁴.3².5
L.Lawliet- Mestre Jedi
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Re: Analise Combinatoria
por Paulo Testoni Ter 08 Jul 2014, 11:56
Hola.
b) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros e positivos?
Solução: 720 = 2^ 4 * 3^2 * 5. Os divisores inteiros e positivos de 720 são os números da forma:
2^a * 3^b * 5^c, onde a ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, b ∈ {0, 1, 2}, e c ∈ {0, 1}.
Portanto, existem 5 * 3 * 2 = 30 maneiras de escolher os expoentes a, b, c. Logo há 30 divisores. Observe que como 720 não é um quadrado perfeito, para cada divisor x de 720 existe um outro divisor y ≠ x de 720 tal que x * y = 720.
Portanto, cada produto contém dois divisores diferentes de 720. Como existem 30 divisores, existem 30/2 = 15 produtos diferentes.
b) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros e positivos?
Solução: 720 = 2^ 4 * 3^2 * 5. Os divisores inteiros e positivos de 720 são os números da forma:
2^a * 3^b * 5^c, onde a ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, b ∈ {0, 1, 2}, e c ∈ {0, 1}.
Portanto, existem 5 * 3 * 2 = 30 maneiras de escolher os expoentes a, b, c. Logo há 30 divisores. Observe que como 720 não é um quadrado perfeito, para cada divisor x de 720 existe um outro divisor y ≠ x de 720 tal que x * y = 720.
Portanto, cada produto contém dois divisores diferentes de 720. Como existem 30 divisores, existem 30/2 = 15 produtos diferentes.
Paulo Testoni- Membro de Honra
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Re: Analise Combinatoria
por Paulo Testoni Ter 08 Jul 2014, 12:30
Hola Luiz.
Aqui nesse link: https://pir2.forumeiros.com/t16013-soma-dos-divisores vc encontra um exemplo através do qual vc resolverá a letra a.
a) Qual a soma dos divisores inteiros e positivos de 720?
Aqui nesse link: https://pir2.forumeiros.com/t16013-soma-dos-divisores vc encontra um exemplo através do qual vc resolverá a letra a.
a) Qual a soma dos divisores inteiros e positivos de 720?
Paulo Testoni- Membro de Honra
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Re: Analise Combinatoria
por L.Lawliet Ter 08 Jul 2014, 12:33
Ah, valeu Paulo. Esse detalhe do quadrado perfeito nem levei em consideração. Se por acaso fosse um cubo perfeito, tipo 2 744 000=7³.4³.5³, como voce faria?
Mas paulo, Eu cheguei a fazer isso (letra ''b'') mas quando eu tentei aplicar a mesma ideia na letra C, não tava batendo e por isso achei que a ideia usada na letra B estaria errada e teria sido apenas uma coincidência a resposta ser igual.
Mas paulo, Eu cheguei a fazer isso (letra ''b'') mas quando eu tentei aplicar a mesma ideia na letra C, não tava batendo e por isso achei que a ideia usada na letra B estaria errada e teria sido apenas uma coincidência a resposta ser igual.
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Re: Analise Combinatoria
por Paulo Testoni Ter 08 Jul 2014, 13:35
Hola.
a) Qual a soma dos divisores inteiros e positivos de 720?
Seja: 720 = 2^ 4 * 3^2 * 5¹, temos:
S = (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4)*(3^0 + 3^1 + 3^2)*(5^0 + 5^1)
Faça primeiramente a multiplicação distributiva dos 2 últimos produtos, fica mais fácil. Lembre-se de que as multiplicações devem ser do tipo:
(3^0*5^0 + 3^0*5^1 + 3^1*5^0 + 3^1*5^1 + 3^2*5^0 + 3^2*5^1) =
(1 + 5 + 3 + 15 + 9 + 45). Cada valor desses deve ser multiplicado por todos os que estão dentro desse conjunto {2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4} só depois vc vai somá-los.
a) Qual a soma dos divisores inteiros e positivos de 720?
Seja: 720 = 2^ 4 * 3^2 * 5¹, temos:
S = (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4)*(3^0 + 3^1 + 3^2)*(5^0 + 5^1)
Faça primeiramente a multiplicação distributiva dos 2 últimos produtos, fica mais fácil. Lembre-se de que as multiplicações devem ser do tipo:
(3^0*5^0 + 3^0*5^1 + 3^1*5^0 + 3^1*5^1 + 3^2*5^0 + 3^2*5^1) =
(1 + 5 + 3 + 15 + 9 + 45). Cada valor desses deve ser multiplicado por todos os que estão dentro desse conjunto {2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4} só depois vc vai somá-los.
Paulo Testoni- Membro de Honra
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Re: Analise Combinatoria
por Paulo Testoni Ter 08 Jul 2014, 13:57
Hola.
c) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de tres inteiros e positivos?
Como 720 = 2^4*3^2*5, a*b*c = 720 ==>
>
> a = 2^a1*3^a2*5^a3
> b = 2^b1*3^b2*5^b3
> c = 2^c1*3^c2*5^c3
>
> com a1+b1+c1 = 4, a2+b2+c2 = 2, a3+b3+c3 = 1. Essas três equações são
> independentes e têm C(6;2), C(4;2), C(3;2) soluções, respectivamente. Logo o
> número total de maneiras é 6*5*4*3*3*2/2^3 = 270.
No entanto 270 eh o numero de triplas ordenadas (a,b,c) de inteiros positivos tais que a*b*c = 720.
Por exemplo, as triplas (1,1,720), (1,720,1) e (720,1,1) sao consideradas distintas na sua solução, mas na verdade representam uma única decomposição de 720.
720 não é cubo perfeito. Logo, não possui nenhuma decomposição da forma "a*a*a".
Por outro lado, existem 6 decomposições de 720 da forma "a*a*b".
São elas: 1*1*720, 2*2*180, 3*3*80, 4*4*45, 6*6*20 e 12*12*5.
Cada uma delas corresponde a 3 triplas.
Todas as demais têm os 3 fatores distintos, de forma que cada uma corresponde a 6 triplas. Portanto, o número destas é igual a (270-3*6)/6 = 42.
Logo, o número de decomposições distintas de 720 como produto de três inteiros positivos (a menos da ordem dos fatores) é igual a 42 + 6 = 48
Uma colaboração do Danilo Nascimento.
c) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de tres inteiros e positivos?
Como 720 = 2^4*3^2*5, a*b*c = 720 ==>
>
> a = 2^a1*3^a2*5^a3
> b = 2^b1*3^b2*5^b3
> c = 2^c1*3^c2*5^c3
>
> com a1+b1+c1 = 4, a2+b2+c2 = 2, a3+b3+c3 = 1. Essas três equações são
> independentes e têm C(6;2), C(4;2), C(3;2) soluções, respectivamente. Logo o
> número total de maneiras é 6*5*4*3*3*2/2^3 = 270.
No entanto 270 eh o numero de triplas ordenadas (a,b,c) de inteiros positivos tais que a*b*c = 720.
Por exemplo, as triplas (1,1,720), (1,720,1) e (720,1,1) sao consideradas distintas na sua solução, mas na verdade representam uma única decomposição de 720.
720 não é cubo perfeito. Logo, não possui nenhuma decomposição da forma "a*a*a".
Por outro lado, existem 6 decomposições de 720 da forma "a*a*b".
São elas: 1*1*720, 2*2*180, 3*3*80, 4*4*45, 6*6*20 e 12*12*5.
Cada uma delas corresponde a 3 triplas.
Todas as demais têm os 3 fatores distintos, de forma que cada uma corresponde a 6 triplas. Portanto, o número destas é igual a (270-3*6)/6 = 42.
Logo, o número de decomposições distintas de 720 como produto de três inteiros positivos (a menos da ordem dos fatores) é igual a 42 + 6 = 48
Uma colaboração do Danilo Nascimento.
Paulo Testoni- Membro de Honra
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Re: Analise Combinatoria
por L.Lawliet Ter 08 Jul 2014, 14:52
Paulo, Voce poderia me dizer se eu interpretei certo a sua resolução?
Nessa parte: "Portanto, o número destas é igual a (270-3*6)/6 = 42":
270: representa o total de combinações possiveis
-3*6 : o ''6'' representa as formas de decompor 720 no formato a*a*b e o ''3'' representa as triplas: (a,a,b), (a,b,a) e (b,a,a)
/6 : Feito (270-3*6) sobram-se apenas os casos em que os 3 fatores são diferentes, como a ordem dos fatores não influenciam no produto, voce dividiu por 3!=6
Se sim, voce somou +6 aos 42 por que?
Nessa parte: "Portanto, o número destas é igual a (270-3*6)/6 = 42":
270: representa o total de combinações possiveis
-3*6 : o ''6'' representa as formas de decompor 720 no formato a*a*b e o ''3'' representa as triplas: (a,a,b), (a,b,a) e (b,a,a)
/6 : Feito (270-3*6) sobram-se apenas os casos em que os 3 fatores são diferentes, como a ordem dos fatores não influenciam no produto, voce dividiu por 3!=6
Se sim, voce somou +6 aos 42 por que?
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Re: Analise Combinatoria
por Mbssilva Qua 08 Fev 2017, 20:04
Fiquei com dúvida em um dos pontos.
Porque é feito uma combinação com repetição de 5 tomado 2 em 2 para a1+b1+c1=4, de 3 tomado 2 em 2 para a2+b2+c2=2 e de 2 tomado 2 em 2 para a3+b3+c3=1?? Eu entendi o motivo de ser uma Combinação com Repetição, só não entendi porque é sempre tomado de 2 em 2. Alguém pode me ajudar? Obrigado desde já.
Porque é feito uma combinação com repetição de 5 tomado 2 em 2 para a1+b1+c1=4, de 3 tomado 2 em 2 para a2+b2+c2=2 e de 2 tomado 2 em 2 para a3+b3+c3=1?? Eu entendi o motivo de ser uma Combinação com Repetição, só não entendi porque é sempre tomado de 2 em 2. Alguém pode me ajudar? Obrigado desde já.
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Baixe o livro Análise Combinatória e Probabilidade do A.C. Morgado com o gabarito e o solucionário dos exercícios.
Link 1: https://drive.google.com/open?id=0B4rrFzh6MB34NlVpeEpMZEdYSWs
Link 2: https://mega.nz/#F!FcpEWTCC!XrlsFKcPNR3ePOFm3OVJsg
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Re: Analise Combinatoria
por Mbssilva Qui 09 Fev 2017, 10:37
Ah, eu achei uma aula no Youtube, que tirou minhas dúvidas quanto à esse assunto perfeitamente.
Se alguém no futuro tiver a mesma dúvida que eu, e estiver interessado em aprender esse conteúdo também, recomendo assistir esse vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=RZyAEQx_wS4
Se quiser complementar o vídeo acima, pode assistir esse vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=UibiyhLPB7Q
Se alguém no futuro tiver a mesma dúvida que eu, e estiver interessado em aprender esse conteúdo também, recomendo assistir esse vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=RZyAEQx_wS4
Se quiser complementar o vídeo acima, pode assistir esse vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=UibiyhLPB7Q
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Baixe o livro Análise Combinatória e Probabilidade do A.C. Morgado com o gabarito e o solucionário dos exercícios.
Link 1: https://drive.google.com/open?id=0B4rrFzh6MB34NlVpeEpMZEdYSWs
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Emanuel Dias e sommerlatte gostam desta mensagem
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