Soma dos divisores

por Paulo Testoni Qui 28 Jul 2011, 21:57

Ache a soma dos divisores positivos do número 120.
a) 60
b) 120
c) 180
d) 300
e) 360

por **ivomilton** Qui 28 Jul 2011, 23:25

Paulo Testoni escreveu:Ache a soma dos divisores positivos do número 120.
a) 60
b) 120
c) 180
d) 300
e) 360

Boa noite, Paulo!

120 = 2³*3*5

Quantidade de divisores = (3+1)(1+1)(1+1) = 4*2*2 = 16

Divisores:

S = a1*(q^n - 1)/(q-1)

1 — 2 — 4 — 8 → S = 1*(2^4 - 1)/1 = 1*15 = 15
3 — 6 - 12 - 24 → S = 3*(2^4 - 1)/1 = 3*15 = 45
5 - 10 - 20 - 40 → S = 5*(2^4 - 1)/1 = 5*15 = 75
15 -30- 60-120 → S=15*(2^4 - 1)1=15*15 = 225
----------------------------------------------------------
Totalizando = (1+3+5+15)*15 = 24*15 = .... 360

Alternativa (e).

Um abraço.

por Paulo Testoni Sáb 30 Jul 2011, 20:53

Hola Ivomilton.

Muito interessante a sua solução. Veja uma outra meneira de resolver essa questão.
Aproveitando a sua decomposição:
120 = 2³*3*5, temos:

$\frac{2^{3+1}-1}{2-1}*\frac{3^{1+1}-1}{3-1}*\frac{5^{1+1}-1}{5-1}\\ \frac{2^{4}-1}{1}*\frac{3^{2}-1}{2}*\frac{5^{2}-1}{4}\\ \frac{16-1}{1}*\frac{9-1}{2}*\frac{25-1}{4}\\ \frac{15}{1}*\frac{8}{2}*\frac{24}{4}\\ 15*4*6 = 360$

por Paulo Testoni Sáb 30 Jul 2011, 21:29

Hola Ivomilton.

Veja aqui a a teoria:

Soma dos divisores Soma2

por **ivomilton** Sáb 30 Jul 2011, 22:04

Paulo Testoni escreveu:Hola Ivomilton.

Veja aqui a a teoria:

Boa noite, Paulo.

Valeu a informação.
Vou salvar e arquivar esta página para futuras consultas.
Muito obrigado!

Um abraço e um abençoado final domingo e próxima semana.

por JORGE FONTES Seg 25 Fev 2013, 17:36

Onde encontro essa teoria e a demonstração da proposição acima, sobre a soma dos divisores???

Abraço, e agradeço desde já !

por **ivomilton** Seg 25 Fev 2013, 18:33

JORGE FONTES escreveu:Onde encontro essa teoria e a demonstração da proposição acima, sobre a soma dos divisores???

Abraço, e agradeço desde já !

Boa noite, Jorge.

Pesquisando na net, através do Google, encontrei um link que demonstra o que o amigo deseja:

http://www.mat.uc.pt/~jfqueiro/TN8.pdf

Veja, na página 34, a função σ, a qual começa onde diz:

"Uma outra função interessante em Teoria dos Números é a função σ.
Exemplos: σ(1)=1, σ(2)=3, ......"

Leia daí em diante, pois aí explica a teoria e a demonstração a respeito.

Um abraço.