Soma de divisores.

A soma de todos os divisores do número  que são da forma  com a ; b > 0 é igual a:

a) 740 

b) 742 

c) 744 

d) 746 

e) 748

19¹ = 19 ---> 19 - 1 = 18 = 2¹.3² ---> a = 1, b = 2

19² = 361 ---> 361 - 1 = 360 = 2².3².5 ---> a = 2, b = 2 

19³ = 6 859 ---> 6 859 - 1 = 6 858 = 2¹.3³.127 ---> a =1, b = 3

19⁴ = 130 321 ---> 130 321 - 1 = 130 320 = 2⁴.3².5.181 --> a = 4, b = 2

Tente agora descobrir a lei de formação para a, b

19^(88) - 1 =
(19^(44) + 1)(19^(44) - 1) =
(19^(44) + 1)(19^(22) + 1)(19^(22) - 1) =
(19^(44) + 1)(19^(22) + 1)(19^(11) + 1)(19^(11) - 1) =

Primeiramente vamos analisar alguns casos para o 2:

Para o fator "19^(11) - 1", a maior potência de 2 é o próprio 2, basta aplicar uma congruência modular e ver que 4 não divide esse fator. Para os demais, é fácil ver que 2 divide "19^(n) + 1" , já que esse número é par, agora aplicando congruência mod 4 vemos que "19^(44) + 1" e "19^(22) + 1" deixam resto 2 quando dividido por 4, porém "19^(11) + 1" deixa resto 0 quando dividido por 4, portanto ele também é divisível por 4, aplicando mod 8 a "19^(11) + 1" vemos que ele deixará resto 2, logo esse número não é divisível por 8, portanto, a maior potência de 2 que divide "19^(88) - 1" é 2.2.4.2 = 2^5

Agora para o caso do 3:

Podemos ver inicialmente que nenhuma das parcelas "(19^(44) + 1)(19^(22) + 1)(19^(11) + 1)" é divisível por 3 pois eles deixam resto 2 na divisão por 3, então basta analisar para "19^(11) - 1", primeiramente podemos ver que 3 e 9 dividem esse número, basta aplicar congruência modular diretamente, agora, se aplicar congruência mod 27 vemos que esse número não é divisível por 27, pois ele deixa resto 9 na divisão, logo a maior potência de 3 que divide "19^(88) - 1" é 3^2.

Com isso tudo dito, a soma dos divisores de "19^(88) - 1" da forma "(2^a).(3^b)" é igual a:

2.3 + 4.3 + 8.3 + 16.3 + 32.3 + 2.9 + 4.9 + 8.9 + 16.9 + 32.9 = 744

Espero que não tenha ficado confuso kkk, qualquer coisa é só falar.

Muito boa esta questão. Obrigado a ambos. 

Fantecele, houve um pequeno erro de digitação aqui: [...]" deixa resto 0 quando dividido por 0, portanto ele também é divisível por 0,"[...] No parágrafo onde analisa os casos para o 2.

Opa, muito obrigado kkk, concertei lá.

Qualquer coisa a mais é só falar.

Oi Fantecele

Pela sua frase "Opa, muito obrigado kkk, concertei lá." eu entendo que você é músico e fez parte de algum concerto!!!

Eu prefiro "Opa, muito obrigado kkk, consertei lá." kkk

Eita kkk, nesse período eu vi uma matéria de música e matemática, essa matéria deve ter me influenciado a escrever isso kkk (na verdade é eu que sou ruim em português mesmo).

Muito obrigado!