Bissetriz do menor ângulo

A equação da bissetriz do menor ângulo formado pelas retas y = √3x + 2 e 3y = √3 x + 6 é :

Spoiler:

Tentei resolver da seguinte maneira
Achei o ângulo entre as retas por: tgθ = |a - a'|/(1+a.a').
Achei o ponto onde as retas se encontram igualando as equações
Tentei utilizar a equação fundamental da reta através da tangente e utilizando o ponto onde as retas se cruzam
Não consegui chegar ao gabarito!!

Há algum erro na minha forma de resolver?
Obrigado desde já!

Para obter a eq. das bissetrizes basta igualar: d(P,r) = d(P,s) onde P é um ponto qualquer da bissetriz.
|(√3)x -y + 2|/√((√3)²+1²) = | (√3)x -3y + 6|/√((√3)² + 3²)
(√3x - y + 2)/√4 = +- (√3x -3y + 6)/√12
(√3x -y+2)(√3) = +- (√3x - 3y + 6)
3x -√3y + 2√3 = + √3x -3y + 6
(3-√3)x +(3-√3)y - 2(3-√3) = 0
x + y - 2 = 0
y = -x + 2

ou
3x - √3y + 2√3 = -√3x + 3y - 6
(3+√3)x -(3+√3)y +2(3+√3) = 0
x - y + 2 = 0
y = x+ 2 ( menor ângulo)

Quando temos questões como essa. Onde pede-se a equação da bissetiz de duas retas, sempre teremos duas equações para a bissetriz? Se sim, essas duas bissetrizes sempre serão perpendiculares?

Para este caso, poderia fazer assim:

anabeatrizneves escreveu:Quando temos questões como essa. Onde pede-se a equação da bissetiz de duas retas, sempre teremos duas equações para a bissetriz? Se sim, essas duas bissetrizes sempre serão perpendiculares?

Ana Beatriz,
SIM e SIM.
Sim, se temos duas retas concorrentes e não perpendiculares (caso em que o ângulo seria de 90°), elas formam dois pares de ângulos diferenfes opostos pelo vértice, um menor e o outro, consequentemente, maior. Para cada um destes dois ângulos haverá uma bissetriz e cada bissetriz pode ser descrita pela equação de uma reta.
E sim, essas duas bissetrizes são perpendiculares ente si, sempre. E nem poderia ser de outra forma pois um ângulo raso (um lado da reta) vale 180°. Se o dividimos em dois mediante corte por uma reta transversal (com o que formamos dois ângulos), e de cada um desses dois ângulos formados tomamos a metade (divisão pela bissetriz), essas metades tomadas são a metade de 180°, ou seja, 90° e as bissetrizes são perpendiculares.