Equação da Circunferência

(Vunesp)O quadrado ABCD tem lado de medida 4, vértice A na origem do sistema de eixos cartesianos, lado AB sobre o eixo x e lado AD sobre o eixo y. A circunferência λ passa pelo ponto médio dos  lados AD e BC e seu centro O dista raiz de 5 do ponto D, conforme  a figura. 



A equação da circunferência λ pode ser representada por
 (A) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 5.
 (B) (x – 2)2 + (y – 6)2 = 25. 
(C) (x – 4)2 + (y – 6)2 = 13.
 (D) (x – 2)2 + (y – 5)2 = 13.
 (E) (x – 2)2 + (y – 5)2 = 5.
Gabarito: D

Olá.

Vamos colocar as informações no plano cartesiano:



Note que O tem abscissa igual à abscissa do ponto médio de AB. Assim, O é de forma
O(2,k). Aplicando a fórmula da distância entre pontos, encontramos k:

D_{d,O} = √5 .:. (k-4)² + (2-0)² = 5 .:. k²- 8k + 16 + 4 = 5 .:. k² - 8k + 15 = 0 -->
k = (8 +- 2)/2 .:. k = 5 ou k = 3 (não serve).

Assim, O(2,5). Para calcular o raio, basta que calculemos a distância de O até o ponto médio de AD, E(0,2). Temos:

R² = (5-2)² + (2-0)² .:. R² = 13

Logo, a equação da circunferência é: (x-2)² + (y-5)² = 13

Att.,
Pedro

Seja o ponto O (a, b) centro da circunferência
Como o lado do quadrado mede 4, o ponto D tem coordenadas D (0, 4)
A distância OD = √5. Vamos começar por aqui:

(a - 0)² + (b - 4)² = √5²
a² + b² - 8b + 16 = 5
a² + b² - 8b = -11 *

Vamos determinar os outros pontos: B(4, 0), C(4, 4), cujo ponto médio é N(4, 2)
Observe que o ponto médio do lado AD pertence à circunferência. Vamos chamá-lo de M (0, 2)

As distâncias OM e ON são iguais ao raio da circunferência

(a - 0)² + (b - 2)² = (a - 4)² + (b - 2)²
a² + b² - 4b + 4 = a² - 8a + 16 + b² - 4b + 4
0 = -8a + 16
8a = 16
a = 2

Substituindo a = 2 em *
2² + b² - 8b = -11
b² - 8b + 15 = 0

b' = 3 ou b" = 5

r² = (a - 0)² + (b - 2)² = 2² + (3 - 2)² = 4 + 1 = 5
r² = (a - 0)² + (b - 2)² = 2² + (5 - 2)² = 4 + 9 = 13

Logo, a equação da circunferência pode ser:

λ: (x - 2)² + (y - 3)² = 5

λ: (x - 2)² + (y - 5)² = 13 Que é a opção do gabarito

É verdade, Marcelo. Errei ao descartar a outra possibilidade.