Logaritmos UPF

por Henriks Dom 08 Jun 2014, 21:00

As populações de duas cidades, M e N, são dadas em milhares de habitantes funções:

$M(t)=\log_8 (1+t)^6))$

$N(t)N(t)=\log_2 (4t+4)))$

Onde a variável t representa o tempo em anos. Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. O valor mínimo desse instante t é:

R: 3

por MatheusMagnvs Dom 08 Jun 2014, 21:13

Após t anos, a população de M é sempre maior do que a de N.

M(t) = log[8](1+t)^6 = log[2³](1+t)^6 = {log[2](1+t)^6}/3

M(t) >= N(t) .'. log[8](1+t)^6 >= log[2](4t+4) .'. {log[2](1+t)^6}/3 >= log[2](4t+4) .'. log[2](1+t)^6 >= 3log[2](4t+4) .'. log[2](1+t)^6 >= log[2](4t+4)³

Como a base é maior do que 1, estabelecemos a relação entre logaritmandos:

(1+t)^6 >= (4t+4)³ .'. (1+t)² >= 4t+4 .'. t²+2t+1 >= 4t + 4 .'. t² - 2t -3 >= 0 .'.

t >= 3

O valor mínimo, então, é de 3 anos.

Espero ter ajudado. Smile

por Henriks Dom 08 Jun 2014, 21:38

mas o tempo sendo 3 anos, as populações não seriam iguais?

por marquesrafa1 Seg 30 Out 2017, 23:22

Alguém consegue me explicar o que fiz de errado nas operações logaritmicas?

por **petras** Seg 30 Out 2017, 23:43

(1+t)^2 = 1+2t+t^2 e não t^2+1 como você resolveu.

por marquesrafa1 Seg 30 Out 2017, 23:55

Baaaa, muito obrigado mesmo! Desatenção.

por Fibonacci13 Sáb 27 Mar 2021, 21:43

Como que ele descobriu que a cidade M, é que vai ter a população maior?

por marcelindo3301 Sáb 27 Mar 2021, 22:11

Não precisa saber qual tem a população maior, o exercício só pede qual o valor de t para que a diferença de população seja mínimo (zero).

Apesar disso, fica claro que a cidade M tem um crescimento populacional maior pelo seguinte motivo:

M(t) = log₈(t+1)⁶
M(t) = 1/3log₂(t+1)⁶
M(t) = log₂(t+1)²

N(t) = log₂(4t+4)

Supondo N(t) maior que M(t):

log₂(4t+4) > log₂(t+1)²
4t+4 > (t+1)²
4t+4 > t² + 2t + 1

0 > t² - 2t - 3

O intervalo que a inequação é verdadeira é entre -1 e 3. Quando t = 3 a diferença é nula e quando t > 3 a inequação é falsa, portanto a população da cidade M é maior ou igual que a da cidade N para um t ≥ 3.

por Fibonacci13 Sáb 27 Mar 2021, 22:22

Sim, agora que eu percebi que nesta questão ele não pedia. No meu livro tem essa questão só que o autor adaptou e perguntou qual cidade tem a maior população e qual o motivo. Muito obrigado pela ajuda. Very Happy