Integrais duplas

por **Jader** Qua 04 Jun 2014, 03:00

Achar a área do quadrilátero curvilíneo limitado pelos arcos das curvas $y^{2}=ax,y^{2}=bx,xy=\alpha ,xy=\beta ;(0< a< b,0< \alpha < \beta )$

O livro da uma indicação: Introduzir novas variáveis u e v, supondo xy = y e y² = vx.

por Man Utd Qui 05 Jun 2014, 22:23

Olá

Fazendo a mundança de variavéis proposta : $u=xy \;\;\;\; \wedge \;\;\; v=\frac{y^2}{x}$ , O jacobiano desta transformação é : $J=\frac{1}{3v}$ , agora a região é : $v=a \;\;\; , \;\;\; v=b \;\;\;, \;\;\; u=\alpha \;\;\; , \;\;\; u=\beta$ , montando a integral ficamos com :

$\\\\\\ \int_{\alpha}^{\beta} \; \int_{a}^{b} \; \frac{1}{3v} \; dvdu \\\\\\ \int_{\alpha}^{\beta} \; \frac{1}{3}\left( \ln b-\ln a \right )du \\\\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\frac{1}{3}\left( \ln b-\ln a \right )(\beta-\alpha)}}}$

por **Jader** Sex 06 Jun 2014, 01:45

Pode só me mostrar como chegou nesse valor do jacobiano, porque eu to meio confuso e não entendi somente essa passagem.

por Man Utd Sex 06 Jun 2014, 15:27

Jader escreveu:Pode só me mostrar como chegou nesse valor do jacobiano, porque eu to meio confuso e não entendi somente essa passagem.

Da substituição indicada anteriormente, obtemos : $x=\sqrt[3]{\frac{u^2}{v}} \;\;\;\;\; \wedge \;\;\;\;\; y=\sqrt[3]{uv}$ .

$\\\\ \frac{\partial x}{ \partial u}=\frac{3}{2\sqrt[3]{uv}} \;\;\;\;\; \wedge \;\;\;\;\; \frac{\partial x}{ \partial v}=-\frac{1}{3}*\sqrt[3]{\frac{{u^2}}{v^4}} \\\\ \frac{\partial y}{ \partial u}=\frac{1}{3}*\sqrt[3]{\frac{v}{u^2}} \;\;\;\;\; \wedge \;\;\;\;\; \frac{\partial y}{ \partial v}=\frac{1}{3}*\sqrt[3]{\frac{u}{v^2}}$

então a matriz jacobiana é :

$\\\\\\ J=\begin{bmatrix} \frac{3}{2\sqrt[3]{uv}} & -\frac{1}{3}*\sqrt[3]{\frac{{u^2}}{v^4}} \\\\ \frac{1}{3}*\sqrt[3]{\frac{v}{u^2}} & \frac{1}{3}*\sqrt[3]{\frac{u}{v^2}} \end{bmatrix} =\frac{1}{3v}$

por Conteúdo patrocinado

Integrais duplas

Integrais duplas

Re: Integrais duplas

Re: Integrais duplas

Re: Integrais duplas

Re: Integrais duplas

Um fórum livre e democrático.