Integrais Duplas

por guhandvah Sáb 01 Set 2012, 19:38

Alguém poderia ajudar?

Como se resolvem as integrais abaixo?

Desde já agradeço.

por danjr5 Sáb 01 Set 2012, 23:51

por danjr5 Dom 02 Set 2012, 00:39

d) Mudando a ordem de integração:
esboce o gráfico e verá que $\begin{cases} 0 \leq y \leq 3 \\\\ 0 \leq x \leq \frac{y}{3}\end{cases}$

Então,

$\\ \int_{0}^{3}\int_{0}^{\frac{y}{3}} e^{y^2} \, dx \, dy = \\\\\\ \int_{0}^{3} \left [ x \cdot e^{y^2} \right ]_{0}^{\frac{y}{3}} = \\\\\\ \begin{cases} F(\frac{y}{3}) = \frac{y}{3} \cdot e^{y^2} \\\\ F(0) = 0 \end{cases} \\\\\\ \int_{0}^{3} \frac{y}{3} \cdot e^{y^2} \, dy =$

$\\ \begin{cases} y^2 = \alpha \\ d\alpha = 2y \, dy \end{cases} \\\\\\ \frac{1}{3}\int_{0}^{3}y \cdot e^{y^2} \, dy = \\\\\\ \frac{1}{3}\int_{0}^{3}\frac{d\alpha }{2} \cdot e^\alpha = \\\\\\ \frac{1}{6}\int_{0}^{3} e^\alpha \, d\alpha = \\\\\\ \left [ \frac{1}{6} \cdot e^\alpha \right ]_{0}^{3} =$

$\\ \left [ \frac{1}{6} \cdot e^{y^2} \right ]_{0}^{3} = \\\\\\\begin{cases} G(3) = \frac{e^9}{6} \\ G(0) = \frac{1}{6} \end{cases} \\\\\\ G(3) - G(0) = \\\\ \boxed{\frac{e^9 - 1}{6}}$

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