Integrais duplas

por **Jader** Qua 04 Jun 2014, 02:48

Achar a área limitada pela linha $(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9})^{2}=\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}$

por Man Utd Qui 05 Jun 2014, 17:52

Olá

Faça a mundança de variavéis : $\\\\\\u=\frac{x}{2} \;\;\;\;\; \wedge \;\;\;\;\; v=\frac{y}{3}$ , o jacobiano será 6 e a nova região será : $\\\\\\ (u^2+v^2)^2=u^2-v^2$ que representa uma lemniscata em coordenadas cartesianas, aqui vai o esboço :

Integrais duplas 34ewy2s

então até o momento temos: $\\\\\\ \iint_{S} \; 6 \; dA$ , onde "S" é a lemniscata que esboçamos.Agora vamos passar a coordenadas polares : pela simetria da figura vamos integrar somente o primeiro quadrante e multiplicar por 4, o raio começa em zero e vai seguindo pela curva : $\\\\\\ (u^2+v^2)^2=u^2-v^2 \;\;\; \Rightarrow \;\;\;\; r=\sqrt{cos^{2} \theta-sen^{2} \theta}$ e o ângulo do raio começa em zero e vai até o final da curva isto onde atinge o máximo : $\\\\\\ 0=\sqrt{cos^{2} \theta-sen^{2} \theta} \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; \theta=\frac{\pi}{4}$ , o jacobiano desta transformação é "r" , então a integral montada é :

$\\\\\\ 4\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \;\int_{0}^{\sqrt{cos^{2} \theta-sen^{2} \theta}} \; 6r \; drd\theta$

Conclua...

por **Jader** Sex 06 Jun 2014, 00:49

É tão simples o raciocínio, porém tenho bastante dificuldades nessa parte porque simplesmente meu professor de cálculo 3 não deu a matéria de integrais múltiplas para nós e passou um trabalho pra resolver mais de 50 questões desse assunto.

Agradeço muito sua paciência e disposição para me ajudar =)

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