Integrais duplas

por **Jader** Qua 04 Jun 2014, 04:21

Empregando as coordenadas polares e generalizadas, calcular o volume do sólido limitado pelo plano XOY, pelo cilindro x² + y² = 2ax e pelo cone x² + y² = z².

por Man Utd Qua 04 Jun 2014, 22:12

Olá

Os limites em z serão $0 \leq z \leq \sqrt{x^2+y^2}$ , no plano xy teremos a circuferência fora do polo : $(x-a)^2+y^2=a^2$ , passando tudo a coordenadas cilindricas ficamos com :

$\int_{ -\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \; \int_{0}^{2acos\theta} \; \int_{0}^{r} \; r \; dzdrd\theta$

Conclua e confira com o gabarito.

por **Jader** Qua 04 Jun 2014, 22:28

E se fosse calculado em integrais duplas como que ficaria, porque no livro do Demidovitch esse exercício (2208) está na parte de integrais duplas.

por Man Utd Qua 04 Jun 2014, 23:20

Ficaria assim :

$\iint_{S} \; \sqrt{x^2+y^2} \; dydx$

onde "S" representa a projeção do sólido no plano xy, isto é o cilindro x² + y² = 2ax .

Passando em coordenadas polares fica :

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \;\int_{0}^{2acos\theta} r^2 \; drd\theta$

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