Limite Infinito

por PiterPaulo Sáb 24 maio 2014, 19:01

Fazendo pela determinação

limite x-->oo [sqrt x * cosx + 2x² sen (1/x)]/[x - sqrt 1 + x²]

por **mauk03** Sáb 24 maio 2014, 22:24

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{x}\cos x+2x^{2}\sin \frac{1}{x}}{x-\sqrt{1+x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x\left ( \frac{\cos x}{\sqrt{x}}+2x\sin \frac{1}{x} \right )}{x\left ( 1-\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1} \right )}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{\cos x}{\sqrt{x}}+2x\sin \frac{1}{x}}{1-\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}}$

Sendo a função y=cos(x) limitada no intervalo [-1,1] e lim x-->oo [sqrt(x)] = oo, tem-se:
$\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{\cos x}{\sqrt{x}}=0$

Assim:
$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{\cos x}{\sqrt{x}}+2x\sin \frac{1}{x}}{1-\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x\sin \frac{1}{x}}{1-\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}}$

Fazendo u=1/x .:. x-->oo => u-->0, tem-se:
$\lim_{u\rightarrow 0 }\frac{2\times \frac{\sin u}{u}}{1-\sqrt{u^{2}+1}}=\lim_{u\rightarrow 0 }\frac{2\left ( 1+\sqrt{u^{2}+1} \right )}{\left ( 1-\sqrt{u^{2}+1} \right )\left ( 1+\sqrt{u^{2}+1} \right )}=-\lim_{u\rightarrow 0}\frac{2+2\sqrt{u^{2}+1}}{u^{2}}$
$\lim_{u\rightarrow 0 }\frac{2\times \frac{\sin u}{u}}{1-\sqrt{u^{2}+1}}=-\infty$

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