Área, triângulo, paralelogramo

por **Ashitaka** Qui 22 maio 2014, 20:03

ABCD é paralelogramo de área x. M é ponto médio de CD. Determine a área da região sombreada em função de x.

Dica: E é baricentro do triângulo BDC.
R: x/12

Tenho certeza que é algo muito óbvio que não estou enxergando...

Área, triângulo, paralelogramo 2CIJXIj

por **Medeiros** Qui 22 maio 2014, 20:42

baricentro = encontro das medianas
mediana = liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.

As três medianas de um triângulo dividem-no em 6 triângulos de mesma área. Note que, dois a dois, eles têm mesma altura e bases de mesmo tamanho.

Área do triângulo BCD é a metade da área do paralelogramo ---> S_BCD = x/2

Área do triângulo ECM vale 1/6 da S_BCD. Portanto,

S_ECM = (1/6)*x/2 -----> S_ECM = x/12

por **Ashitaka** Sex 23 maio 2014, 00:38

Medeiros, você está dizendo que todos os 6 triângulos possuem eexatamente a mesma área? Eu não tô conseguindo enxergar isso. Só tô conseguindo ver que os triângulos formados por uma mesma mediana tem a mesma área. Dessa forma também não consigo visualizar como vale metade de 1/6 da área, não vejo esse 1/6, desculpe. Espero que pela manhã venha uma iluminação.
Abraço.

por **raimundo pereira** Sex 23 maio 2014, 06:56

outro modo.
QQ dúvida só na 2a feira.

Área, triângulo, paralelogramo 34zk0ud

por **Ashitaka** Sex 23 maio 2014, 13:33

raimundo pereira escreveu:outro modo.
QQ dúvida só na 2a feira.

Obrigado, senhores. Agora eu entendi as 2 resoluções fornecidas, agradeço.
Mas ali onde o senhor Raimundo colocou a semelhança entre as áreas com os lados deveria ser S(MEC)/S(ABE), certo?

por **Medeiros** Sex 23 maio 2014, 19:36

Hgp2102 escreveu:Medeiros, você está dizendo que todos os 6 triângulos possuem exatamente a mesma área? Eu não tô conseguindo enxergar isso. ...
Abraço.

Hgp, isso é teorema básico da geometria euclidiana; em todo o caso, veja a prova disso no exercício neste link: https://pir2.forumeiros.com/t62227-propriedade-das-medianas

por **Ashitaka** Sex 23 maio 2014, 19:49

Medeiros escreveu:
Hgp2102 escreveu:Medeiros, você está dizendo que todos os 6 triângulos possuem exatamente a mesma área? Eu não tô conseguindo enxergar isso. ...
Abraço.
Hgp, isso é teorema básico da geometria euclidiana; em todo o caso, veja a prova disso no exercício neste link: https://pir2.forumeiros.com/t62227-propriedade-das-medianas

Pois é, Medeiros, quando eu acordei hoje de manhã com a mente mais vazia, peguei o problema e consegui perceber que as áreas eram iguais. Eu não sabia disso porque até essa altura o livro nada tinha dito sobre e eu não tinha parado para analisar se eram iguais, mas depois de acordar com a mente vazia eu consegui perceber. Mas obrigado pela demonstração, ficou bem clara. Smile