Limite - Provar que:

por **Pietro di Bernadone** Dom 04 maio 2014, 22:13

Se $Limite - Provar que: Gif$ e $Limite - Provar que: Gif$ . Prove que $Limite - Provar que: Gif.latex?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7D%5Cleft%20%5B%20f%28x%29%5C%2C.%5C%2Cg%28x%29%20%5Cright%20%5D%3DL%5C%2C$

por Man Utd Ter 06 maio 2014, 10:33

Olá

vamos usar a definição de limites, então :

$0<|x-a|<\delta \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; |f(x)+g(x)-(L+M)|<\epsilon$

é isto que queremos provar.

então da desigualdade triangular:

$\\\\ \left|f(x)+g(x)-(L+M)\right| \\\\ \left|(f(x)-L)-(g(x)-M)\right|\leq \left|f(x)-L \right|+\left|g(x)-M \right|$

perceba que se supormos que :

$\\\\ \begin{cases} 0<|x-a|<\delta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2} \\\\\ 0<|x-a|<\delta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |g(x)-M|<\frac{\epsilon}{2} \end{cases}$

obtemos o que queríamos:

$|f(x)-L+g(x)-M|\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$

então :

$\\\\ 0<|x-a|<\delta \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;|f(x)-L+g(x)-M|<\epsilon \\\\ C.Q.D$

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