Progressão Harmônica e PA

por yanimeita Dom 27 Abr 2014, 15:52

Uma progressão harmônica é uma sequência cujos inversos formam uma progressão aritmética.
Seja a(1),a(2),a(3),... uma progressão harmônica com a(1)=5 e a(20)=25.
O menor inteiro positivo n para o qual a(n)<0 é
a)22
b)23
c)24
d)25
e)26

"Não sei o gabarito,mas pelos meus cálculos o resultado deu d)25,queria confirmar."

por **Elcioschin** Dom 27 Abr 2014, 16:36

Mostre seus cálculos

por yanimeita Dom 27 Abr 2014, 17:02

a(1),a(2),a(3).... P.H
1/a(1),1/a(2),1/a(3)...P.A
a(1)=5
a(20)=25

a(n)=a(1) + r.(n-1)-->P.A
a(20)=1/5 + r.19=1/25---->r=-4/475
Fazendo sucessivas tentativas:

a(22)=1/5 + r.21
a(22)=1/5 + 21.(-4/475)=11/475--> a(22)>0 (FALSA)

a(23)=1/5 -22.(4/475)=7/475--> a(23)>0 (FALSA)

a(24)=1/5 -23.(4/475)=3/475 --> a(24)>0 (FALSA)

a(25)=1/5 - 24.(4/475)=-1/475 --> a(25)<0 (VERDADEIRA)

Certo???

por **Elcioschin** Dom 27 Abr 2014, 20:49

Sem tentativas

a(n) = a1 + (n - 1).r ---> an = 1/5 + (n - 1).(-4/475) --->

an = 1/5 - 4n/475 + 4/475 ---> an = 95/475 - (4/475).n + 4/475 --->

an = (1/475).(99 - 4n) --->

an < 0 ---> 99 - 4n < 0 ---> 4n > 99 ---> n > 24,75

Como n é inteiro ---> n = 25