Divisão Harmônica

por PlodX Seg 09 maio 2011, 20:37

Os pontos A,M,B,N de uma reta formam uma divisão harmônica de razão MA/MB=NA/NB=k.Se J é ponto médio de MN a razão JA/JB vale:
a)2K
b)K/2
c)K^2
d)3K
e)K/3

Spoiler:

por **Euclides** Qua 11 maio 2011, 01:04

$\\\frac{x_M-x_A}{x_B-x_M}=\frac{x_A-x_N}{x_B-x_N}=k\\\\x_J=\frac{x_M+x_n}{2}\\\\\frac{JA}{JB}=\frac{x_A-x_j}{x_B-x_J}=\frac{x_A-\frac{x_M+x_N}{2}}{x_B-\frac{x_M+x_N}{2}}\\\\\\\frac{JA}{JB}=\frac{2x_A-x_M-x_N}{2x_B-x_M-x_N}=\frac{(x_A-x_N)-(x_M-x_A)}{(x_B-x_M)+(x_B-x_N)}$

Na última expressão fazemos as substituições

$\\\frac{JA}{JB}=\frac{(x_A-x_N)-(x_M-x_A)}{(x_B-x_M)+(x_B-x_N)}=\frac{k(x_B-x_N)-k(x_B-x_M)}{\frac{x_M-x_A}{k}+\frac{x_A-x_N}{k}}\\\\\\\frac{JA}{JB}=\frac{k(x_M-x_N)}{\frac{x_M-x_N}{k}}=k^2$