Função Modular

por jarry15 Seg 21 Abr 2014, 20:14

Eu queria saber como simplificar a equação desta questão.

Desenhe o gráfico da função real de variável real definida por:

Função Modular YozldPPMCPNfjeiQf4AWLADxADfoAY8APEgB8gBvwAMeAHiPEfcqc9lY6LAO4AAAAASUVORK5CYII=

Função Modular YozldPPMCPNfjeiQf4AWLADxADfoAY8APEgB8gBvwAMeAHiPEfcqc9lY6LAO4AAAAASUVORK5CYII=

Ps: abs = Módulo

por MatheusMagnvs Seg 21 Abr 2014, 20:33

x²-1 tem raízes 1 e -1.

|x²-1| = x²-1, se x > 1 ou x < -1

|x²1| = 1 - x², se -1< x < 1.

Se x > 1 ou x < -1, a equação se torna:

x-2 + [x.(x²-1)/x²-1] = x-2 + x = 2x + 2 = y, que é uma equação de primeiro grau que corta o eixo y em 2. (apenas anulamos as partes em azul).

Deixo o gráfico por sua conta; lembre-se de considerar que x < -1 e x > 1.

Se -1 < x < 1

y = x-2 + [x.(x²-1)/1-x²]

Multipliquemos a parte fracionária por -1 no numerador e no denominador, ou seja:

-1. x.(x²-1)/ -1. 1-x² = -x. (x²-1)/x²-1 = -x (apenas anulando as partes iguais).

Esse artifício é possível, pois é evidente que -1/-1 = 1, ou seja, multiplicar o numerador e o denominador simultaneamente pelo mesmo número não altera o resultado; é um artifício conveniente para certas situações, como essa. Assim como se multiplicássemos numerador e denominador por 2 não alteraria o resultado etc. Fazemos isso para manipular as equações para chegar de forma eficiente aos resultados desejados.

Voltando a equação original:

y = x-2 + [x.(x²-1)/1-x²] = x - 2 - x = -2 = y

Logo, para -1 < x < 1, y = -2

Deixarei o gráfico por sua conta. Qualquer dúvida, poste novamente.

Espero ter ajudado. Smile