Sistema cartesiano e ponto

Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(2,1), B(3,5) e C(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km², é de:


R.: 17/2


Primeiramente, eu gostaria de saber como eu resolvo essa questão por geometria analítica e depois, se possível, saber porque ela também pode ser resolvida usando a metade do determinante das coordenadas dos pontos do triangulo.

Obrigado desde já!

Seja o triângulo cujos vértices são:

A( x1, y1 ) , B( x2, y2 ) e C( x3, y3 )

- podemos obter sua área por:

Área -> K = ( 1/2 )*b*h onde

b = distância entre os vértices A e C
h = altura tomada do vértice B

- distância entre os vértices A e C:

........------------------------
b =\/ (x1-x3)² + (y1-y3)²


- reta que passa pelos vértices A e C:

y - y1 = [ ( y1-y3 )/( x1 - x3 ) ]*( x - x1 ) -> ( y1 - y3 )*x - ( x1 - x3 )*y + x1y3 - x3y1 = 0

......| ( y1 - y3 )*x2 - ( x1 - x3 )*y2 + x1y3 - x3y1 |
h = --------------------------------------------------------
..................\/[(y1-y3)² + (x1-x3)² ]

logo:

K = (1/2)* | ( y1-y3)*x2 - (x1-x3)*y2 + x1y3 - x3y1 |

esta expressão dentro do módulo pode ser escrita como:

| x1.....y1......1|
| x2.....y2......1|
| x3.....y3......1|

então:

.................| x1....y1....1 |
K = (1/2)* ||x2.....y2....1 | |
................| x3....y3.....1|


aplique os dados da sua questão e calcule a área, revise a teoria.