Séries de Potências2
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Séries de Potências2
por Violeiro Sex 18 Abr 2014, 22:50
Seja a equação diferencial :
y=0 "y''+sen(x)y=0")
Resolver utilizando o método de resolução por série.
Resolver utilizando o método de resolução por série.
Violeiro- Jedi
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Re: Séries de Potências2
por Matheus Fillipe Ter 29 Abr 2014, 20:17
Vamos lá:
Sua derivada segunda(termo a termo):
Substituindo na eq:
)a_nx^{n-2}+sen(x)\sum_{0}^{\infty}a_nx^{n}=0 "\sum_{0}^{\infty}n(n-1))a_nx^{n-2}+sen(x)\sum_{0}^{\infty}a_nx^{n}=0")
O objetivo agora é transformar isso em uma única série de forma que todos os termos se anulem independentemente de x, achando os coeficientes ""a" em
função de x. Assim devemos simplificar termos de mesma potência em x.
Para fazer isso note que a série de y" começa em x^-2, o que significa que temos que reajustar essa série. fazendo então:
Continua a ser a mesma série. Temos então:
para n=-2:
o que deixa a0 indeterminado(lembra da constante de integração?)
n=-1: a1 fica também indeterminado.
(n+1))a_{n+2}x^{n}+sen(x)a_nx^{n})=0 "\sum_{0}^{\infty}((n+2)(n+1))a_{n+2}x^{n}+sen(x)a_nx^{n})=0")
Assim, cada termo deve se anular:
(n+1))a_{n+2}+sen(x)a_n)=0 "((n+2)(n+1))a_{n+2}+sen(x)a_n)=0")
O que leva a:
a_n)}{(n+2)(n+1))} "a_{n+2}=-\frac{sen(x)a_n)}{(n+2)(n+1))}")
Que é uma relação de paridade.
Redefinindo, a série par, para um a0 não nulo seria:
^N\frac{sen^N(x)a_0}{(2N)!} "a_{N}=(-1)^N\frac{sen^N(x)a_0}{(2N)!}")
Ou seja:
^N&space;\frac{sen^N(x)}{(2N)!}&space;x^{2N} "y=a_0\sum_{N=0}^{\infty} (-1)^N \frac{sen^N(x)}{(2N)!} x^{2N}")
Para N natural. Mas essa ainda não é a solução geral. Pode considerar a1 diferente de 0 e calcular a série impar? A solução geral é a combinação linear das duas.
Vais começar com série de Frobenius não é?
Sua derivada segunda(termo a termo):
Substituindo na eq:
O objetivo agora é transformar isso em uma única série de forma que todos os termos se anulem independentemente de x, achando os coeficientes ""a" em
função de x. Assim devemos simplificar termos de mesma potência em x.
Para fazer isso note que a série de y" começa em x^-2, o que significa que temos que reajustar essa série. fazendo então:
Continua a ser a mesma série. Temos então:
para n=-2:
o que deixa a0 indeterminado(lembra da constante de integração?)
n=-1: a1 fica também indeterminado.
Assim, cada termo deve se anular:
O que leva a:
Que é uma relação de paridade.
Redefinindo, a série par, para um a0 não nulo seria:
Ou seja:
Para N natural. Mas essa ainda não é a solução geral. Pode considerar a1 diferente de 0 e calcular a série impar? A solução geral é a combinação linear das duas.
Vais começar com série de Frobenius não é?
Matheus Fillipe- Mestre Jedi
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