Prove que Raiz de X² = |X|

Eu sei que essa discussão já foi abordada aqui e em vários outros fóruns, ocorre que para eu assimilar e concordar com algo, não me basta guardar uma regra e sim entendê-la. Alguém poderia provar-me/explicar-me por que motivo, razão, causa ou circunstância Raiz de X² = |X| ??

Veja meu modo de pensar:
Ex:

Raiz[(-9)²] = |9| ?
Ok, pode ser => Raiz[81] = 9. Ok

Por outro lado: Raiz[(-9)²] = (-9)²/² = (-9)¹ = -9 

Nessa linha re raciocínio, Raiz[(-9)²] não seria +/- 9?   :scratch:

Isso, antes de mais nada, resulta da definição. A definição de raiz quadrada é tal que



essas condições não estão colocadas aí à toa. Elas são necessárias para que não conduzam a absurdos. Admitamos que



isso nos traz um primeiro problema: "como um número positivo elevado a uma potência positiva poderia fornecer um resultado negativo?"

a radiciação e a exponenciação têm uma conexão com os logaritmos



um número positivo (10), elevado a qualquer outro número (y) nunca resultará negativo. Razão de porque também não se define logaritmo de número negativo.

Enfim, em matemática, tudo que conduz a absurdos é um erro de origem, portanto

Realmente, Euclides, agora eu me convenci do certo. Obrigado pela explicação.   
Mas aproveitando a linha de raciocínio, direcionando nossa análise para uma função do 2º grau, por que, na resolução dos valores de X, a equação admite +/- para raiz do Delta?  
Tipo, eu entendi a linha do raciocínio, o resultado da Raiz será um valor positivo:

Raiz(Delta) = |X|

No entanto, depois de racionado o número, a expressão admite:

[-b + Raiz(Delta)]/2a e [-b - Raiz(Delta)]/2a

Por que se faz necessário adotar tanto o valor positivo quanto o negativo do resultado da raiz para se solucionar os valores de X?  :scratch:

Isso é outra coisa. Se temos, , há dois valores de x que elevados ao quadrado resultam 4: a raiz de 4 e menos a raiz de 4 (que é positiva, por coerência lógica, como já vimos).

Há dois valores de x, tais que: , porém há um único valor de x tal que .

Ok, Euclides. Valeu mesmo pela ajuda!  

Ótima explicação!

Aproveitando a dedução de Euclides, se temos
√x² = |x|

Então, por definição de módulo, temos:
x = √x² ou x = -√x²

Por isso que quando temos x² = 4, por exemplo, fazemos x = √4 ou x = -√4. Isso porque de x² = 4, fazemos:
x² = 4
√x² = √4
|x| = √4
x = √4 ou x = - √4
x = 2 ou x = -2

Além disso, se |x| = √x², √x² só pode ser maior ou igual a zero, já que o resultado de módulo nunca pode ser negativo. Com isso, já se descarta resultados como √4 = -2, por exemplo e etc.

Estou enganado?

A verdade é que parece haver discórdia sobre a definição de raiz quadrada. Por exemplo, de uma fonte confiável: http://mathworld.wolfram.com/SquareRoot.html
temos: Note that any positive real number has two square roots, one positive and one negative.

Aplicando a definição de raiz é a dada pelo wolfram, a raiz quadrada de x é um número r tal que x = r². Dessa forma, a raiz de 16 é um número r tal que r² = 16 e, portanto, é +- 4.

Contudo, até onde sei em livros de Variáveis Complexas ou Análise Complexa há uma definição em R e outra em C, assim como é feito no Iezzi. O verdadeiro problema está no que o símbolo √ representa.

Se você pegar o Iezzi vol. 2:


Se pegar o vol. de Complexos:


Note que da primeira definição, se a = 4, b = 2, necessariamente.
Da segunda, se a = 4, b = 2 ou b = -2.

Observe também a sutileza das definições: a primeira é chamada de raiz enésima artimética enquanto a segunda é chamda só de raiz.

Assim, a resposta de √4 dependerá de qual conjunto está sendo considerado, R ou C. Como o costume é sempre trabalhar em R e, nos exercícios, C - R fica renegado a exercícios específicos do assunto, resta escrever que √4 = 2, pois provavelmente é a intenção de quem perguntou (e que não dirá raiz artimética).

Bem explicado, agora ficou claro depois de ver esses argumentos.