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Fórmula de Heaviside(decomposição em frações

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Fórmula de Heaviside(decomposição em frações  Empty Fórmula de Heaviside(decomposição em frações

Mensagem por Matheus Fillipe Sex 07 Mar 2014, 21:08

Pra quem já estuda transformada de Laplace ou até mesmo integrais que requerem a decomposição em frações parciais, ta ai um método realmente prático. Requer o uso da derivada de primeira ordem e funciona para divisões de polinômios da forma:



Condições:


1ºSendo a tal que Q(a)=0 deveremos ter Q'(a) diferente de 0, para todos os a possíveis.
2º O grau de P menor que o de Q. 

Com as duas condições podemos aplicar o método.


Demonstração:

Se Q é um polinômio com N zeros distintos, temos que como o de costume com frações parciais:




Ou seja, a soma de todos os coeficientes A para determinar(note que há 1 para cada raiz) considerando Q na forma:



Agora vem os passos decisivos: Multiplicando ambos os lados por 





Temos:



Nossa intenção é achar o Ak ali no meio. Ficaria fácil se tomássemos x=ak, mas com isso o termo P/Q tenderia a infinito/não faria sentido. Assim tomaremos o limite de X-->ak. A intenção é que se os termos multiplicados por (x-ak) se anulem mais rapidamente que o polinômio, pois o x-ak que multiplica a fração se cancela com o que está em Q, no denominador. Vejamos, aplicando Le'Hoptal a esse limite:





Se você observar verá que o termo:




É o inverso de:




Portanto chegamos a:




e:



Que és chamada de Fórmula do Desenvolvimento de Heaviside.

Pode aparacer complicado a primeira vista, vejamos um exemplo fácil e um real:




As raízes são explicitamente -1,2,3.       P(-1)=-2 ;               p(2)=4 ;            P(3)=14.
  Agora,          Q'=3x^2 -8x+1.  Q'(-1)=3+8+1=12, Q'(2)=12-16+1=-3;Q'(3)=27-24+1=4

Portanto:






Agora um bom exemplo:



Fatorando:

P=x^2-3x+2=(x-2)(x-1)   só pra facilitar

Q=x^4+2x^2+1=(x^2+1)(x^2+1) necessariamente

Q'=3x^3 +4x

as raízes são duplas, -i e i, portanto:

P(-i)=1+3i  Q'(-i)=-3i-4i=-7i

p(i)=1-3i    Q'(i)=i


você encontraria:






O método só será útil quando for possível encontrar as raízes de Q.

Espero que gostem, Obrigado!
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Mensagem por Man Utd Sab 08 Mar 2014, 14:13

Olá  Very Happy


Achei interessante esse metódo, mas eu conheço uma versão diferente dessa fórmula : (Aqui vai o link) nesta versão ela fornece diretamente a transformada inversa de laplace.


Dúvida: se as raízes forem complexas (como seu último exemplo) , como conseguirei a transformada inversa de laplace ?


Obrigado por compartilhar, com esse metódo ganha-se muito tempo na hora de decompor em frações parciais. Very Happy Very Happy Very Happy
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Mensagem por Matheus Fillipe Sab 08 Mar 2014, 22:17

Conheço o método que já dá a transformada inversa direto, e ele é totalmente baseado nisso. No último exemplo era só por mostrar mesmo, não seria possível fazer a transformada inversa por frações parciais até onde eu sei.
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