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Transformada de Laplace+ Heaviside + Série de potência

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Resolvido Transformada de Laplace+ Heaviside + Série de potência

Mensagem por Johnchefin Dom 11 Out 2020, 22:07

Sei que tenho que provavelmente tenho que desenvolver a série de potência para usar a transformada de Laplace Uc(t)*f(t-c), mas não sei como fazer isso...

Transformada de Laplace+  Heaviside + Série de potência 5Q1FhRJ6SAAAAABJRU5ErkJggg==

Johnchefin
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Resolvido Re: Transformada de Laplace+ Heaviside + Série de potência

Mensagem por Victor011 Seg 12 Out 2020, 11:28

Olá Johnchefin Smile,
o esboço do gráfico fica assim: 

Transformada de Laplace+  Heaviside + Série de potência K0FM+ni5UvSV8DhJs0YZQPAiAAAt8TgHAxFEAABEBAEwEIVxNoVAMCIAACEC7GAAiAAAhoIgDhagKNakAABEAAwsUYAAEQAAFNBP4f+AAPTCBoztcAAAAASUVORK5CYII=

Sendo que para qualquer t negativo a função é 1 e para t maior ou igual a 2n + 1 a função é zero.

Para aplicar a transformada, vamos usar que a transformada do somatório é o somatório das transformadas e que é válida a seguinte transformada 'fundamental':

[latex]\\\mathcal{L}\left \{ u_k(t) \right \} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}.u_k(t).dt=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_{k}^{b}e^{-st}.dt=\frac{e^{-sk}}{s}[/latex]

Logo:

[latex]\\\mathcal{L}\left \{ f(t) \right \} = \mathcal{L}\left \{ 1 \right \}+\mathcal{L}\left \{ \sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^k u_k(t)\right \} \\\\=\frac{1}{s}+\sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^k\mathcal{L}\left \{ u_k(t)\right \} \\\\=\frac{1}{s}+\sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^k\cdot\frac{e^{-sk}}{s}=\boxed{\sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k\cdot\frac{e^{-sk}}{s}}[/latex]
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