Desigualdades

por victorheiji Sáb 01 Mar 2014, 05:26

Seja a,b e c reais positivos, então demonstre que a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)≥ 3/2
Poderiam me ajudar nessa?

por **Robson Jr.** Dom 02 Mar 2014, 02:56

Sendo a² + b² ≥ 2ab, temos:

$\small \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c} = \frac{a^2+b^2+ac+bc}{(a+c)(b+c)} \\\\ \therefore \ \ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c} \geq \frac{2ab+ac+bc}{(a+c)(b+c)} \\\\ \therefore \ \ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c} \geq \frac{b}{b+c}+\frac{a}{a+c} \text{ (Ineq. 1)}$

Tomando a² + c² ≥ 2ac, b² + c² ≥ 2bc e procedendo de maneira análoga:

$\small \\ \frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c} \text{ (Eq. 2)} \\\\ \frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b} \text{ (Eq. 3)}$

Fazendo (Eq. 1) + (Eq. 2) + (Eq. 3):

$\small \\ 2 \left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \right ) \geq \frac{b+c}{b+c}+\frac{a+c}{a+c}+\frac{a+b}{a+b}\therefore \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$

o que conclui a demonstração.

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