Desigualdades

por yanimeita Dom 01 Mar 2015, 00:29

Prove que se a + b + c =1, então $Desigualdades 3$

por Brenaoxline Dom 01 Mar 2015, 01:22

Sabemos que um número elevado ao quadrado é sempre maior ou igual a zero, então:

(a1.x - b1)^2 + (a2.x - b2)^2 >=0
Onde a1, b1, a2, b2 pertencem aos reais não nulos.

Resolvendo:
(a1^2 + a2^2)x^2 - 2(a1.b1 + a2.b2)x + (b1^2 + b2^2) >=0

Chame:
(a1^2 + a2^2) = A
(a1.b1 + a2.b2) = B
(b1^2 + b2^2) = C

Assim:
Ax^2 - 2Bx + C >=0 ; para todo x pertencente aos reais.
Isso é uma parábola, e para uma parábola estar sempre acima do eixo x: delta <=0
Assim: (-2B)^2 - 4AC <=0
4B^2 <= 4AC
B^2 <= AC

Substituindo:
(a1.b1 + a2.b2)^2 <= (a1^2 + a2^2) . (b1^2 + b2^2)

Isso é o um teorema de Cauchy-Schwarz que eu acabei de provar pra você.
Você poderia achar esse teorema tão notável quanto Pitágoras, mas é muito importante saber provar (você sabe provar o Teorema de Pitágoras?).

Se você soubesse esse teorema de cabeça, era só usar:

(1.a + 1.b + 1.c)^2 <= (1^2 + 1^2 + 1^2) . (a^2 + b^2 + c^2)
1^2 <= 3 . (a^2 + b^2 + c^2)
Assim:

(a^2 + b^2 + c^2) >= 1/3

por yanimeita Dom 01 Mar 2015, 01:43

Isso!!!, consegui resolver sozinho aqui tentando algumas coisas,vejam:

A Média Quadrática é maior ou igual a Média Aritmética!

Então,

$Desigualdades 3$

Só que, $Desigualdades Gif$ , então:

$Desigualdades 3$ , multiplicando cruzado, podemos fazer isso pois, $Desigualdades Gif$

$Desigualdades Gif.latex?3$ , passando o 3 dividindo o segundo membro,

$Desigualdades 3$ , elevando os dois membros ao quadrado para eliminar as desagradáveis raízes, lembrando que só podemos aplicar esse procedimento quando tivermos certeza que os dois membros da desigualdade são positivos,

$Desigualdades 9$ ,

$Desigualdades 3$

Pronto,aí está provado!!!

por yanimeita Dom 01 Mar 2015, 01:45

Obrigado brenaoxline, também entendi sua resolução usando a desigualdade de cauchy - schwarz!

por **Carlos Adir** Dom 01 Mar 2015, 07:37

yanimeita, sua resolução está incorreta. Isto porque quando temos três termos, a média aritmética deles fica pra três termos. Isto é:
$\sqrt[3]{abc} \le \dfrac{a+b+c}{3}$
E a média quadrática será MENOR ou igual à media aritmética, não o contrário.

O correto é abaixo.
$\\ Seja \ a_i \in \mathbb{R^{+}}, \ com \ i=\left\{1, \ 2, \ 3, \ \cdots, \ n \right \} \\ M_H \le M_G \le M_A \\ M_H = \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots + \dfrac{1}{a_n}} \\ M_G = \sqrt[n]{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \\ M_A = \dfrac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n} \\ \Rightarrow \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}} \le \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} \le \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$

Uma ótima solução foi pela desigualdade de Cauchy

por yanimeita Dom 01 Mar 2015, 13:13

Me desculpe Carlos Adir, mas minha resolução está correta, veja:

$Desigualdades Gif.latex?M.Q%5Cgeq%20M.A%5Cgeq%20M.G%5Cgeq%20M$ Essa é a desigualdade das Médias

Se não quiser acreditar em mim, acesse este link do Rumo ao ITA sobre desigualdades
http://www.rumoaoita.com/site/attachments/293_Desigualdades%20-%20Iuri.pdf