Desigualdades

Pessoal, me ajudem a resolver esta questão:

Determinar o maior número real "m" e menor número real "M" tal que 
m\leq  \frac{x+2}{x+3}\leq M

Como fazemos para determinar o valor máximo e mínimo a partir de uma desigualdade? Em que devo me aprofundar? 

Obs: Não tenho o gabarito.
Agradeço desde já.

Eae gatinha ,
Olha 
Eu faria o seguinte , tanto para achar o 'm' quanto o 'M' você pode fazer uma pequena alteração nessa parte :
(x+2)/(x+3) , no numerador podemos somar 1 e tirar 1 , ficando dessa maneira :

[(x+3)-1]/(x+3)

Como x+3 não pode ser 0 , teremos :

1-[1/(x+3)] (I)

A partir disso para acharmos o valor máximo 'm' , teremos que será encontrado se x=-4.( Valor obtido por testes).
m=2.

Agora ,analisando o valor minimo 'M' , temos que para que isso ocorra x=-2 , quando houver isso teremos M igual a 0 , valor minino ( valor encontrado por testes).

Repare em uma coisa se você começar a diminuir muito o x , para valores por exemplo x=-10 , teremos pela equação (I):

1+1/7 , repare que esse valor está se distanciando de 2 que e o valor maximo.

E se você aumentar o valor para x=10 , teremos também pela equação (I):
1-1/13

O que se distância de 0 o valor minimo.

O problema é que o exercício não fala a respeito dos possíveis valores de x, então se x tender a -3 pela esquerda, aquela relação lá tenderia a - infinito e se x tender a -3 pela direita, aquela relação lá tenderia a mais infinito.

Matheus Tsilva escreveu:Eae gatinha ,
Olha 
Eu faria o seguinte , tanto para achar o 'm' quanto o 'M' você pode fazer uma pequena alteração nessa parte :
(x+2)/(x+3) , no numerador podemos somar 1 e tirar 1 , ficando dessa maneira :

[(x+3)-1]/(x+3)

Como x+3 não pode ser 0 , teremos :

1-[1/(x+3)] (I)

A partir disso para acharmos o valor máximo 'm' , teremos que será encontrado se x=-4.( Valor obtido por testes).
m=2.

Agora ,analisando o valor minimo 'M' , temos que para que isso ocorra x=-2 , quando houver isso teremos M igual a 0 , valor minino ( valor encontrado por testes).

Repare em uma coisa se você começar a diminuir muito o x , para valores por exemplo x=-10 , teremos pela equação (I):

1+1/7 , repare que esse valor está se distanciando de 2 que e o valor maximo.

E se você aumentar o valor para x=10 , teremos também pela equação (I):
1-1/13

O que se distância de 0 o valor minimo.

 Qual raciocínio foi utilizado para para chegar na equação (I)? Não compreendi... se não for pedir muito para explicar o passo a passo.