Plano e Reta Perpendicular

por Giovane Qua 26 Fev 2014, 19:19

Em um triângulo ABC, AB = 6, BC = 8 e AC = 10. Traça-se a reta AD perpendicular ao plano que contém o referido triângulo, com AD=2V5 e M é ponto médio de BC. Calcule a medida do ângulo entre AB e DM.

Gab: 45°

por Luck Qui 27 Fev 2014, 01:57

Usando analítica facilita: desenhe o triângulo ABC, retângulo em B. Adotando o eixo em B,o triângulo está no plano xy, temos: B(0,0,0) ; C(8,0,0) ; A(0,6,0) ; D(0,6,2√5) . M é médio de BC , então M (4,0,0)
AB = B-A = (0,-6,0)
DM = M-D = (4,-6,-2) , o ângulo pedido pode ser calculado pelo produto escalar entre os vetores AB e DM:
AB.DM = |AB||DM|cosθ
(0,-6,0)(4,-6,-2) = 6√(4²+(-6)²+(-2)²) cosθ
36 = 6√72cosθ
36 = 6(6√2)cosθ
cosθ = 1/√2 ∴ θ = 45º