Álgebra

Fatore (a+2b-3c)^3+(b+2c-3a)^3 + (c+2a-3b)^3

Olá.

Sejam a+2b-3c = r, b + 2c - 3a = s e c + 2a - 3b = t

Seja uma equação do terceiro grau qualquer, x³ + bx² + cx + d, com raízes r,s e t.

Das relações de Girard:

r + s + t = -b, r*s + r*t + s*t = c, r*s*t = -d

Dos polinômios simétricos:

φ1 = -b
φ2 = c
φ3 = -d
S(-1) = 1/r + 1/s + 1/t = (rs + rt + st)/rst = c/-d
S0 = r^0 + s^0 + t^0 = 3
S1 = r + s + t = φ1 = -b
S2 = φ1*S1 - φ2*S0 + φ3*S(-1) .:. S2 = -b*(-b) - c*3 + -d*(c/-d) .:. S2 = b² - 3c + c .:. S2 = b² - 2c
S3 = φ1*S2 - φ2*S1 + φ3*S0 .:. S3 = -b*(b²-2c) - c*(-b) + -d*3 .:. S3 = -b³ + 2bc + bc - 3d .:. S3 = -b³ + 3bc - 3d

Substituindo:

(a+2b-3c)³ +(b+2c-3a)³ + (c+2a-3b)³ = (r+s+t)³ - 3*[ (r+s+t)*(r*s+r*t+s*t) ] + 3*(r*s*t)

.r+s+t = a+2b-3c + b + 2c - 3a + c + 2a - 3b .:. 0
.(r+s+t) * (rs+rt*st) = 0
. r*s*t =(a+2b-3c)*(b+2c-3a)*(c+2a-3b)

Logo:

(a+2b-3c)³ + (b+2c-3a)³ + (c+2a-3b)³ = 3*(a+2b-3c)*(b+2c-3a)*(c+2a-3b)


Att.,
Pedro