AFA - GEOMETRIA ANALÍTICA

por Sr. Almeida Sex 14 Fev 2014, 15:38

Considere no sistema cartesiano ortogonal o triângulo de vértices A(0,3), B(0,-2) e C(3,0). Neste triângulo ABC estão inscritos diversos retângulos com base no eixo das ordenadas. Em relação ao retângulo de maior área, é incorreto afirmar que o mesmo possui:

A) Altura e base proporcionais a 3 e 5.
B) Perímetro representado por um número inteiro.
C) Área maior que 4.
D) Área correspondente a 50% da área do triângulo ABC.

PS: Não entendi o fato de ter que imaginar o retângulo de maior área em meio a diversos outros retângulos inscritos.. Se alguém puder me ajudar nesse exercício, agradeço.

por **Euclides** Sex 14 Fev 2014, 16:53

A figura abaixo mostra um dos possíveis triângulos genericamente. Sua área é dada por $A(x)=x\left [f(x)-g(x) \right ]\;\;\;\;\;x\leq3$ que é uma função do segundo grau (parábola). Encontre essa função e o seu máximo (retângulo de áarea máxima). O resto virá naturalmente.

AFA - GEOMETRIA ANALÍTICA Yejg

por PedroCunha Sex 14 Fev 2014, 17:41

Olá.

Euclides, tentei fazer o exercício trabalhando com retas. Veja:

Se o retângulo tem a base no eixo das ordenadas e está inscrito no triângulo ABC, sua base pertence à reta AB. Vamos encontrar a reta:

m = (-2-3)/(0-0) .:. m = -5

y - 3 = -5 * (x-0) .:. y - 3 = -5x .:. y = -5x + 8

Mas não sei como proceder em relação à altura. Tentei falar que ela pertence à reta AC e fazer o mesmo processo para depois encontrar a função quadrática mas não deu certo. Poderia me ajudar? Poderia me explicar também a sua resolução? Não a entendi.

Att.,
Pedro

por **Euclides** Sex 14 Fev 2014, 18:02

Pedro, antes de mais nada, a reta AB é a reta x=0 e não vai servir de nenhuma ajuda.

Imagine um retângulo qualquer com base sobre o eixo y e altura sobre o eixo x.

As medidas desse retângulo serão:

base: f(x) + |g(x)| e como no intervalo g(x) < 0, a base terá tamanho

$AB=f(x)-g(x)$

a sua altura será $x$ , de modo que a área é dada por $A(x)=x\left [ f(x)-g(x) \right ]$ .

Essa é a área de toda a família de triângulos inscritos da maneira proposta. Isso é uma parábola, cujo máximo fornecerá a área do retângulo de área máxima e também a sua altura.

AFA - GEOMETRIA ANALÍTICA Zo7n

por Luck Sex 14 Fev 2014, 18:07

Do desenho do Euclides: mAC = -1 , então f(x) = -x + k , (3,0) pertence a f:
0 = -3+ k , k = 3
f(x) = -x + 3
mBC = 3/2 , (0,-2) pertence a g:
g(x) = (3/2)x -2

A(x) = x[ f(x) - g(x) ]
A(x) = x [ -x+3 -(3/2)x + 2 ]
A(x) = x[(-5/2)x + 5]
A(x) = (-5/2)x² + 5x
xv = (-b/2a) ,xv = -5/[2(-5/2)] = 1
Amáx = (-5/2)1² + 5 = 5/2 , logo letra c é a incorreta.

por PedroCunha Sex 14 Fev 2014, 20:49

O que não entendo é o porque da base ser f(x) - g(x). O que exatamente é f(x) e g(x)?

por **Euclides** Sex 14 Fev 2014, 21:34

PedroCunha escreveu:O que não entendo é o porque da base ser f(x) - g(x). O que exatamente é f(x) e g(x)?

'Tá se atrapalhando com pouco, Pedro. Terminologia que você está "cansado" de ver e usar. f(x) é o valor da função no ponto x.

y=2x+3
f(x)=2x+3

x=1 --> y=5, f(x)=5.

(x,f(x))=(x,y)