Função quadrática

por caioleite21 Qui 13 Fev 2014, 00:42

(UFSCar-SP) A parábola determinada pela função f: |R ->|R tal que f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0 tem vértice de coordenadas (4,2). Se o ponto de coordenadas (2,0) pertence ao gráfico dessa função, então o produto a * b * c é igual a.
Gab: 12

por **Matheus Vilaça** Qui 13 Fev 2014, 02:20

Olá caio,

A partir das coordenadas do vértice, temos:
$-\frac{b}{2a}=4\: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: {\color{Red} b=-8a}$

..........................................................................................................................................................

$\\-(\frac{b^2-4ac}{4a})=2\\ \\b^2-4ac=-8a\\ \\4ac=64a^2+8a\\ \\c=\frac{8a(8a+1)}{4a}\: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: {\color{Red} c=16a+2}$

Substituindo, obtemos:
$f(x)=ax^2-8ax+(16a+2)$

Sabendo que a coordenada (2,0) pertence a função acima, temos:
f(2)= 4a -16a+(16a+2)=0
a= -1/2
b= 4
c= -6

Assim:
abc=12

Espero ter ajudado!

por PedroCunha Qui 13 Fev 2014, 02:33

Olá.

Se o ponto (2,0) pertence ao gráfico de f(x), 2 é raiz de f(x). De posse da coordenada do 'x' do vértice, podemos encontrar a outra raiz. Veja só:

(2 + x')/2 = xv .:. (2+x')/2 = 4 .:. x' = 6

Logo, f(x) é da forma a*(x-2)*(x-6). Sabendo que f(x) passa por (4,2), temos:

2 = a * (4-2) * (4-6) .:. 2 = -4a .:. a = -1/2

Logo:

f(x) = -1/2 * (x² - 6x - 2x + 12) .:. f(x) = -x²/2 + 4x - 6

Produto a * b * c = -1/2 * 4 * (-6) = 12

Att.,
Pedro

¹Evite usar o CodeCogs,Matheus. Está cheio de problemas esses dias.

por **Matheus Vilaça** Qui 13 Fev 2014, 02:38

Eu sei, tanto que nas últimas linhas eu tive que escrever sem usar o CodeCogs porque tava dando alguns problemas(a imagem do código não estava aparecendo mais), mas valeu por avisar! Smile

por **Matheus Vilaça** Qui 13 Fev 2014, 02:44

Nossa, agora que eu vi que todas as minhas contas foram apagadas...ainda bem que vc postou a sua resposta...vou começar a responder sem CodeCogs (apesar de ser mais complicado de responder)

por caioleite21 Qui 13 Fev 2014, 20:18

PedroCunha escreveu:Olá.

Se o ponto (2,0) pertence ao gráfico de f(x), 2 é raiz de f(x). De posse da coordenada do 'x' do vértice, podemos encontrar a outra raiz. Veja só:

(2 + x')/2 = xv .:. (2+x')/2 = 4 .:. x' = 6

Por favor, como achou que o "x" vértice é 4?

por PedroCunha Qui 13 Fev 2014, 20:19

Olá.

A parábola determinada pela função f: |R ->|R tal que f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0 tem vértice de coordenadas (4,2)

por caioleite21 Qui 13 Fev 2014, 20:42

Me desculpe, mas só mais uma dúvida, a fórmula é Xv = -b/2a , como foi o raciocínio de que o xv = 2+x' / 2 ?

por PedroCunha Qui 13 Fev 2014, 21:00

Olá.

xv = (2+x')/2

Mas 2 é uma das raízes, logo, xv é a média aritmética das raízes. Comprovando:

x' = (-b + √(b²-4ac))/2a
x'' = (-b - √(b²-4ac) )/2a

(x' + x'')/2 = -2b/4a .:. - b/2a

Att.,
Pedro