Provar que...

Provar que quando dois triangulos retangulos são semelhantes, o produto das hipotenusas é igual a soma dos produtos dos outros lados homólogos.

Considere dois triângulos retângulos, o primeiro com catetos medindo "a", "b" e hipotenusa medindo "c", e o segundo com catetos medindo "d", "e" e hipotenusa medindo "f", sendo os dois triângulos semelhantes, por lei dos senos temos que :
a/d = b/e 
ae = bd   (I)

Considere o produto das duas hipotenusas igual a k, ou seja "c.f = k", dessa forma:
c.f = k
(c.f)² = k²
c².f² = k²
(a² + b²).(d² + e²) = k²
a².d² + a².e² + b².d² + b².e² = k²

De (I):

a².d² + 2.a².e² + b².e² = k²
a².d² + 2.a.e.a.e + b².e² = k²
a².d² + 2.a.e.b.d + b².e² = k²
(a.d + b.e)² = k²
a.d + b.e = k
a.d + b.e = c.f