Determinar pontos e retas

168. Pelo ponto P de coordenadas cartesianas ortogonais cos β, sen α (0 ≤ α < β ≤ ∏/2) passam duas retas (r) e (s) paralelas aos eixos coordenados (ver figura). 



a) Determine as coordenadas das intersecções de (r) e (s) com a circunferência x² + y² = 1. 
b) Determine a equação da reta PM, em que M é o ponto médio do segmento AB. 
c) Demonstre analiticamente que as retas CD e PM são perpendiculares.

Respostas: 
a) A(cos α, sen α), B(cos β, sen β), C(-cos α, sen α), D(cos β, -sen β)
b) cos[(α + β)/2]*x - sen[(α + β)/2]*y - cos[(β - α)/2]*[cos(α + β)] = 0
c) não tem gabarito. 


Meu problema: questões b e c. Acredito que falho nas minhas habilidades trigonométricas, desenvolvo as equações que acabam se tornando muito extensas e quando simplifico-as chego a um resultado diferente, apesar de ser por alguns detalhes. 


Fundamentos de Matemática Elementar - Geometria Analítica - 5º Edição - Gelson Iezzi - Questão 168.

Olá.

Letra a:

A: (cos α, sen α)
B: (cos β, sen β)
C: (-cos α, sen α)
D: (cos β, -sen β)


Letra B:


Ponto médio de AB:


(cos α + cos β)/2 ; (sen α + sen β)/2


Ponto P: mesma abscissa de B e mesma ordenada de A: P(cos β , sen α)


Reta PM:

m =  ( (2sen α - (sen α + sen β))/2 ) / [ (2cos β - (cos α + cos β))/2 ]
m = ( sen α - sen β ) / ( cos β - cos α) -->Multiplicando por -1/-1 para chegarmos no gabarito
m = ( sen β - sen α)/ (cos α - cos β)


Logo:


y - sen α = [( sen β - sen α)/ (cos α - cos β)] * (x - cos β)


Mas das fórmulas da prostaférese:


( sen β - sen α)/ (cos α - cos β) = cos [(α+β)/2]/sen [(α+β)/2]



Logo:


y - sen α = cos [(α+β)/2]/sen [(α+β)/2] * (x - cos β)
y * sen [(α+β)/2] - sen α* sen [(α+β)/2] = x *  cos [(α+β)/2] - cos β *  cos [(α+β)/2]
x *  cos [(α+β)/2] - y * sen [(α+β)/2] - cos β *  cos [(α+β)/2] +  sen α* sen [(α+β)/2]


Foi o que eu consegui fazer. Agradeço se alguém conseguir transformar:


- cos β *  cos [(α+β)/2] +  sen α* sen [(α+β)/2]


em


- cos[(β - α)/2]*[cos(α + β)]



Letra c:


.m_pm = cos [(α+β)/2]/sen [(α+β)/2] = ctg [(α+β)/2]


.m_cd = (-sen β - sen α)/ (cos β + cos α)
m_cd = (sen α + sen β)/ (-cos α - cos β)


Aqui, por prostaférese novamente, chegamos em:


[2 * sen [ (a+b)/2] * cos [ (a-b)/2] ] / [-2 * cos [ (a+b)/2] * cos [ (a-b)/2] ]
sen [ (a+b)/2] / -cos [(a+b)/2] = -tg [ (a+b)/2


Como as retas CD e PM são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve resultar em -1:


ctg [(α+β)/2] * (-tg [ (a+b)/2) = - 1 .:. 1/(tg [ (a+b)/2) * -tg [ (a+b)/2 = -1 .:. -1 = -1, c.q.p.



É isso.


Att.,
Pedro


*Fórmulas da prostaférese:


(1) 

(2) 

(3) 

(4)