Algoritmo de Briot-Ruffini

Mostrar que P(x) = x^n - x^(n-2) - 2x + 2 (n E N e n >=2) é divisível por (x - 1)².

Obs. O meu livro utiliza o algoritmo de Briot-Ruffini para resolver esse tipo de questão e ensina que o quociente encontrado deve ser multiplicado por (x - 1)² para dar o polinômio acima, provando a identidade dos polinômios. Não consegui descobrir o quociente correto por esse método.

Desde já agradecido.

Complementando o polinômio:

P(x) = x^n + 0.x^(n-1) - x^(n-2) + 0.x^(n-3) - ....... + 0.x² - 2x + 2

Basta aplicar Briott-Ruffini duas vezes para a raiz x = 1 

__|1 ...... 0 ..... - 1 ..... 0 ...................0 ...... -2 ...... 2
.1 |1 ...... 1 ....... 0 ..... 0 ...................0 ...... -2 ...... 0 ---> Resto 0
.1 |1 ...... 2 ....... 2 ..... 2 ...................2 ....... 0 ----> Resto zero

Mestre Elcioschin

Até aí eu resolvi. O problema é escrever o quociente Q(x) e depois multiplicá-lo por (x - 1)² para dar P(x).

Eduardo Sicale escreveu:Mestre Elcioschin

Até aí eu resolvi. O problema é escrever o quociente Q(x) e depois multiplicá-lo por (x - 1)² para dar P(x).

O enunciado pede apenas para mostrar que é divisível por (x-1)², então não é necessário multiplicar pelo quociente, basta achar resto 0 nas duas divisões que já está provado como o Elcio fez.

Outra alternativa é derivando:
Se x=1 é raíz dupla, então P(1)=P'(1) = 0
P(1) = 1^n - 1^(n-2) -2 + 2  ∴ P(1) = 0 
P'(x) = nx^(n-1) -(n-2)x^(n-3)  - 2
P'(1) = n - (n-2) -2 = 0, c.q.d

Eduardo

De qualquer modo, caso o enunciado pedisse, o quociente está determinado na última linha do algoritmo:

q(x) = x^(n-2) + 2.x^(n- 3) + 2.x^(n-4) + ...... + 2.x² + 2.x + 2

Mestre Elcioschin

Também já fiz isso. Só não consegui fazer aparecer P(x) novamente multiplicando Q(x) por (x - 1)².

P(x) = q(x).(x - 1)²

P(x) =  [x^(n-2) + 2.x^(n- 3) + 2.x^(n-4) + ...... + 2.x² + 2.x + 2].(x - 1)²

x^n + - x^(n-2) +   ....... - 2x + 2 = [x^(n-2) + 2.x^(n- 3) + 2.x^(n-4) + ...... + 2.x² + 2.x + 2].(x - 1)²

Mestre Elcioschin

Vou lhe apresentar a minha resolução

P(x) = x^n - x^(n-2) - 2x + 2

Aplicando Briot-Ruffini

1----->------1------0------(-1)------(-2)------2

1----->------1------1--------0-------(-2)------0

                   1------2--------2---------0-------0

((x^(n-2) + 2x + 2))*(x² - 2x + 1) = 

x^n - 2x^(n-1) + x^(n-2) + 2x³ - 4x² + 2x + 2x² - 4x + 2 = 

x^n - 2x^(n-1) + x^(n-2) + 2x³ - 2x² - 2x + 2 ---> diferente de p(x) = x^n - x^(n-2) - 2x + 2

Onde está o erro ?

Os erros são

1) 3ª linha do algoritmo é 1 --- 2 ---- 2 ........ 2 ---- 0 ----- 0

(Não existe o último zero em vermelho pois a divisão acabou na penúltima coluna). Note também que o pontilhado .... indica umas sequência existente e não digitada. 

Assim p(x) NÃO é o que está na sua 4ª linha: ((x^(n-2) + 2x + 2))*(x² - 2x + 1) = 


O correto é [x^(n-2) + 2.x^(n-3) + ,,,,, + 2x² + 2x + 2)]*(x² - 2x + 1) = 

Mestre Elcioschin

Fiz um teste. Considerei n = 4 e P(x) ficou x^4 - x² - 2x + 2. Dividindo por (x-1)² pelo algoritmo de Briot-Ruffini


1| 1------0------(-1)------(-2)------2

1| 1------1-------0--------(-2)------0

    1------2-------2---------0

(x² + 2x + 2)*(x² - 2x + 1) = 

x^4 - 2x³ + x² + 2x³ - 4x² + 2x + 2x² - 4x + 2 = 

x^4 - x² - 2x + 2 = P(x)


Agora trabalhando com expoentes n

((x^(n-2) + 2x + 2)*(x² - 2x + 1) =

x^n - 2x^(n-1) + x^(n-2) + 2x³ - 4x² + 2x + 2x² - 4x + 2 = 

x^n - 2x^(n-1) + x^(n-2) + 2x³ - 2x² - 2x + 2

Comparando com x^4 - x² - 2x + 2, a expressão na linha de cima é igual a P(x) = x^n - x^(n-2) - 2x + 2   porque

-2x^(n-1) + 2x³ = 0  ---> 2x^(n-1) = 2x³

x^(n-2) - 4x² + 2x² = -x² ---> x^(n-2) = x²

Então, aí a igualdade fica estabelecida.

Fiz assim porque no enunciado, P(x) = x^n - x^(n-2) - 2x + 2 não usou pontilhados, talvez significando que esse polinômio estava completo. Será que agora cheguei no entendimento correto ? 

Muitíssimo agradecido !