Algoritmo de Briot-Ruffini

Boa tarde, pessoal!

Fiz uma busca no fórum e não encontrei o que procuro, então lá vai:

Usando o algoritmo de Briot-Ruffini, mostre que as seguintes divisões são exatas, isto é, de resto nulo. Dê o quociente.

a) x² - a² por x - a
b) 
c) 
d) 
e) 
f.)

As Regras do fórum permitem a postagem de apenas 1 questão por post. Apagadas as demais

a) x² + 0.x -a² ---> Pasta dividir pela raiz x = a

_|1  0  -a²
a|1 .a . 0 ............. Resto = 0 ... Quociente = x + a


Faça as demais, de modo análogo.

Bom, eu sei que o Elcioschin apagou uma parte da questão (devido à regras), mas acho que o objetivo era provar o caso geral. Logo,

i) Fazendo Briot-Ruffini, temos:

[latex]\frac{x^{2}-a^{2}}{x-a}=x+a[/latex]

[latex]\frac{x^{3}-a^{3}}{x-a}=x^{2}+a \cdot x+a^{2}[/latex]

[latex]\frac{x^{4}-a^{4}}{x-a}=x^{3}+a \cdot x^{2}+a^{2} \cdot x+a^{3}[/latex]

...

ii)Atraves dos casos acima podemos supor por indução que:

[latex]\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=x^{n-1}+a \cdot x^{n-2}+ ... +a^{n-3} \cdot x^{2}+a^{n-2} \cdot x+a^{n-1}[/latex]

iii) Provando para n+1, temos:

[latex]\frac{x^{n+1}-a^{n+1}}{x-a}=\frac{x^{n+1}-x\cdot a^{n}+x\cdot a^{n}-a^{n+1}}{x-a}=\frac{x\cdot (x^{n}-a^{n}) + a^{n}\cdot (x-a)}{x-a}[/latex]

[latex]\frac{x^{n+1}-a^{n+1}}{x-a}=x \cdot \frac{(x^{n}-a^{n})}{x-a} + a^{n}[/latex]

*usando a hipotese:

[latex]\frac{x^{n+1}-a^{n+1}}{x-a}=x \cdot (x^{n-1}+a \cdot x^{n-2}+ ... +a^{n-3} \cdot x^{2}+a^{n-2} \cdot x+a^{n-1}) + a^{n}[/latex]

[latex]\frac{x^{n+1}-a^{n+1}}{x-a}=x^{n}+a \cdot x^{n-1}+ ... +a^{n-3} \cdot x^{3}+a^{n-2} \cdot x^{2}+a^{n-1}\cdot x + a^{n}[/latex]

Logo, foi provado que:

[latex]\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=x^{n-1}+a \cdot x^{n-2}+ ... +a^{n-3} \cdot x^{2}+a^{n-2} \cdot x+a^{n-1}[/latex]

ou

[latex]\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=\sum_{k=0}^{n-1}a^{k}x^{(n-1)-k}[/latex]

Elcioschin, não sabia dessa regra do fórum. Peço desculpas.
Elcioschin e Lucius, obrigado pelas respostas.