Equação Paramétrica

Qual o somatório de todos valores reais de D para que a equação x² + Dx + 6D = 0 tenha apenas raízes inteiras.

Bom, minha resolução primeiramente iniciou-se pela condição de existência 

∆ ≥ 0 => D² - 4.6D ≥ 0 => D( D - 24 ) ≥ 0 , portanto D ≤ 0 ou D ≥ 24


ok


Prosseguindo, eu pensei em criar um polinômio com raízes genéricas b e c, onde b, c ∈ ℤ

(x - b)(x - c) = 0 

Desenvolvendo e executando identidade polinomial, têm-se que:

-b -c = D I
bc = 6D II

Fatorando: 

bc = 6( - b - c)
bc = -6b -6c 
bc + 6b + 6c =0
b(c + 6) + 6c + 36 - 36 =0
b(c + 6) + 6(c + 6) = 36
(b + 6)(c + 6) = 36

Onde (b + 6) e (c + 6) podem assumir os seguintes pares: 
(1 , 36)
(2 , 18)
(3 , 12)
(4 , 9)
(6 , 6)
(-1 , -36)
(-2 , -18)
(-3 , -12)
(-4 , -9)
(-6 , -6)

Após isso, trocando esses valores na equação I e depois na II eles não correspondem. 

Estou cometendo algum equívoco? Obrigado!

O que seria o k, Élcio?

Para as raízes serem inteiras √∆ deve ser inteiro logo ∆ deve ser um quadrado perfeito k² (k inteiro) 


x = (- 6  ± k)/2 ----> k deve ser par

Entendi. Obrigado, Élcio.

Obrigado Elcio, só uma coisa...
Após impor a relação D.(D - 24) = k²  você seguiu apenas com testes arbitrários ?

gusttavon, sua solução está correta, e acho que é a melhor maneira de resolver... a solução do Elcio no caso precisaria testar os valores e como são muitos pode acabar deixando passar alguns.. vc só esqueceu que os pares obtidos são de (b+6) e (c + 6) e não b e c, por isso não correspoderam, então para b e c tu tem os seguintes valores:
(-5,30) ; (-4,12) ; (-3,6) ;(-2,3) ; (0,0) ; (-7,-42) ; (-8,-24) ; (-9,-18) ; (-10,-15) ; (-12,-12)
D = bc /6
D =(-5).30/6 = -25
D = (-4).12/6 = -8
D = (-3).6/6 = -3
D= (-2)(3)/6 = -1
D = 0.0/6 = 0
D = (-7)(-42)/6 = 49
D = (-8 )(-24)/6 =32
D = (-9)(-18)/6 = 27
D = (-10)(-15)/6 = 25
D= (-12)(-12)/6 = 24

S= -25 -8-3-1+49+32+27+25+24
S = 120

PS. gustavon, vc poderia ter chegado em I e II diretamente por girard..
Elcio, vc trocou o D por 6 : x= (-D±k)/2 , k não precisa ser par..