Circunferência

Existe aquela propriedade que diz: Tendo 3 pontos distintos e não colineares, existem uma única circunferência que passa por eles.

Então fui resolver o seguinte item de certo ou errado:

1) Uma circunferência que passa pelo ponto (2,9) e que é tangente aos eixos coordenados também passa pelo ponto (9,2). - Gabarito: Certo

Fiz assim:
Considerando um centro Co(Xo,Yo), a circunferência passa pelos seguintes pontos:
(Xo,0) -> Tangente no eixo X
(0,Yo) -> Tangente na eixo Y
(2,9) -> Dado no enunciado

Montei 3 equações:
I) (Xo-Xo)²+(0-Yo)²=R²
II) (0.X0)²+(Yo-Yo)²=R²
III) (2-Xo)²+(9-Yo)²=R²

Desenvolvendo cada uma:
I) Yo=R
II) Xo=R

Substituindo I e II em III:
III) (2-R)²+(9-R)²=R² ---> R²-22R+85=0
Resolvendo essa equação, acho duas raízes: R=5 ou R=17.

Portando, tenho duas circunferência distintas que passam pelos mesmos 3 pontos:
(X-5)²+(Y-5)²=25 e (X-17)²+(Y-17)²= 289.

Isso não contraria a propriedade que descrevi lá em cima? Ou tem alguma coisa errada na minha resolução?

Olá soniky,

Não vejo erro no seu raciocínio.

Observe que as circunferências são tangentes aos eixos coordenado e assim seus centros pertencem à bissetriz do primeiro quadrante, escolhendo-se R = 5 ou R = 17 podemos traçar as duas circunferências que conterão os pontos  ( 2, 9 ) e ( 9, 2 ).

Acabei de perceber que não contraria a propriedade "Tendo 3 pontos distintos e não colineares, existem uma única circunferência que passa por eles.", pois as duas circunferências passam por dois pontos iguais, não três.

Tive essa dúvida pois no item anterior a este, afirmava: "Existem pelo menos três circunferências distintas que passam pelo ponto (2,9) e que são tangentes a ambos os eixos coordenados." -> Item Errado

Percebo que resolveria do mesmo modo. Mas como eu teria certeza que apenas duas circunferências passam por esses pontos?

Pelos dois valores encontrados para R. Tente traçar uma terceira circunferência que satisfaça as condições dadas.