Duvida em EDO, problema proposto

Pessoal boa noite tudo bem ? Estou com dúvidas em relação a uma questão de cálculo 3, que diz respeito a EDO, não consegui observar as situações para resolução, quem puder ajudar, agradeço.


  Um homem tem um capital que aumenta a uma taxa proporcional ao quadrado do seu valor instantâneo. Se o proprietário tivesse $1000000, há um ano atrás, e $2000000, hoje, quanto terá daqui a 6 meses?

Ora, se a taxa de crescimento é dada por X', e seja proporcional a X^2, que é o capital ao quadrado, nossa equação é: (onde k é a constante de proporcionalidade)

X'=kX^2

Os números servem para calcular k. Vamos resolver a equação primeiro:



Integrando em ambos os lados:




Que dá o capital em função do tempo.
Usando o tempo em meses: em 12 o capital duplicou. Em t=0 o homem tinha 10^6, e após 12 meses X=2*10^6. Queremos o valor de x em t=18. Você poderá conferir que c=2 10^(-18) e k=-7/48*10^-18


Em t=18:



Acho que é isso. Espero ter ajudado.

Obrigado pela resolução, mas não entendi o porquê que o valor de K seria este mencionado na resolução, desde já agradeço.

Calcule c no ponto t=0, e X=10^6. Basta elevar ao cubo nos dois lados e encontrará c. Dai você coloca no ponto t=12, X=2*10^6, eleva ao cubo mais uma vez considerando o valor de c obtido anteriormente e pronto, só uma questão de agrupamento de termos. Se ajudar você poderia usar t em anos e encontraria outros k. No caso em t=0 faria o mesmo e k seria obtido em t=1. Já o valor esperado em t=1,5.