Imagem de uma função

por victorheiji Seg 25 Nov 2013, 22:24

Determine o conjunto imagem da função:
f(x)=x²-x+1/x²+x+1
Resposta: 1/3 ≤ f(x) ≤ 3
Alguém poderia me dar uma força?

por Igor Bragaia Seg 25 Nov 2013, 22:43

O conjunto imagem de f(x) é igual ao domínio da inversa de f(x). Calculando agora fˉ¹(x):
y=(x²-x+1)/(x²+x+1)
x²y+xy+y=x²-x+1
x²(y-1)+x(y+1)+(y-1)=0
x={-y-1±√[(y+1)²-4(y-1)²]}/2(y-1)

fˉ¹(x)={-x-1±√[(x+1)²-4(x-1)²]}/2(x-1)

i) x-1≠0 ⇒ x≠1

ii) (x+1)²-4(x-1)²≥0 ⇒ 3x²-10x+3≤0 ⇒ 1/3≤x≤3

Como i) está contido em ii), o domínio da inversa de f(x) é 1/3≤x≤3. Logo, a imagem de f(x) é 1/3≤f(x)≤3.

até

por **Euclides** Seg 25 Nov 2013, 23:43

Acho que o desejado é exatamente o que fez muito bem o colega Igor Bragaia. Porém, se conhecermos derivação e limites, teremos outro caminho:

$f'(x)=\frac{2x^2-2}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}$

a derivada se anula em dois pontos: $x=1\;,\;\;\;x'=-1$

um deles poderá ser um ponto de máximo global e o outro um ponto de mínimo global. Uma verificação decisiva poderá ser feita pelo exame dos limites laterais

$\\\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-1}{2x+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{2}=1\\\\\\\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{2x+1}{2x+1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{2}{2}=1$

os limites mostram que há uma assíntota horizontal em y=1. Assim podemos decidir sobre o máximo e o mínimo

$\\x=1:\;\to\;\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{1}{3}\\\\\\x=-1:\;\to\;\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=3$

portanto $\frac{1}{3}\leq f(x)\leq 3$

por victorheiji Seg 25 Nov 2013, 23:57

Fantástico vocês, me ajudaram demais!!! Eu estava que nem louco tentando fatorar a expressão para tentar deixá-la em função de apenas uma expressão quadrática, mas não estava saindo. Muito obrigado mesmo pela ajuda!

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