reta simetrica

Determine a distância entre o vértice da parábola y=x²-2x-3 e a reta simétrica a reta x=-1 em relação à reta 4x-2y+3=0.

Resposta:

- vértice da parábola:

y = x² - 2x - 3 -> x² - 2x = y + 3

x² - 2x + 1 = y +3 + 1

( x - 1 )² = (y + 4 ) -> V( 1, -4 )

- sejam as retas dadas:

(r) -> x = - 1

(s) -> y = 2x + ( 3/2 )

- interseção de (r) com (s): -> I( - 1, - 1/2 )

- fazendo x = 0 na reta (s) temos o ponto: A( 0, 3/2 )

- pelo ponto A( 0, 3/2 ) determinar a reta (t) perpendicular à reta (s):

y = ( - 1/2 )*x + ( 3/2 )

- interseção da reta (t) com a reta x = -1:

B( - 1,2 )


- temos que A é médio do segmento BP onde P( x, y )

P( 1, 1 )

assim,a reta simétrica procurada é a reta (w) que passa pelos pontos P(1, 1 )
e B( - 1, 2 )

y = (3/4)*x + ( 1/4 )


- distância do vértice da parábola à reta (w):

......| (3/4)*1 + 4 + (1/4) |.........5
d = ------------------------ = ------- = 4
........\/(9/16) + 1.....................(5/4)

t : x + 1= 0 ; r : 4x -2y+3 = 0
Seja s a reta simétrica, I (-1,-1/2) o ponto de interseção das retas t e r por onde também passa s, e P(-1,2) um ponto qualquer de t. Vamos primeiramente obter um ponto R(a,b) simétrico à reta t em relação a r. Seja M o ponto médio de P  e R ,e u a reta que passa por estes pontos, u é perpendicular a r :
 mr.mu= -1 ∴ mu = (-1/2)
u: y-2 = (-1/2)(x+1)
u : y=(-x/2)+ (3/2)
u ∩ r = M
assim M(0,3/2)
xM= (xP +xR)/2 ∴ 0 = [(-1)+a]/2 ∴  a =1
yM = (yP+ yR)/2 ∴ (3/2) = [2 +b]/2 ∴ b = 1
com os pontos R e I obtemos a equação da reta s:
s: 3x - 4y+1=0

y=x²-2x-3
Xv= (-b/2a) = 1 ,Yv= -4 
V (1,-4)
dV,s= |axo + byo+ c|/√(a²+b²)
dV,s= |3.1 +(-4).(-4) + 1|/5
dV,s = 4

Vlw Jose Carlos e Luck